Ркстремальные принципы для электрических цепей Рё применение сопутствующих инвариантов РІ анализе, расчёте Рё РїСЂРё оптимизации электротехнических устройств
Ключевые слова: электрические цепи, экстремум энергии или мощности, унитарные, конгруэнтные преобразования, ортогональность, однородный базис, симметрирование нагрузки, электромагнитная совместимость, минимум потерь, лагранжиан цепи, гамильтониан цепи, устойчивость экономики.
Введение - существующие проблемы и цели работы. Несмотря на то, что теория электрических цепей является разделом физики, заметного использования экстремальных мощностных и энергетических свойств цепей при их анализе никогда не наблюдалось. Существование значительного числа научных публикаций на эту тему (библиография в [1]) не оказало влияния на практическую методологию электротехники и её экстремальную инженерную эвристику, столь обычную в целом по физике. Общепризнанно, что причиной стала беспрецедентная относительно общего положения в физике простота в электротехнике прямой организации уравнений состояния цепей по сравнению с вариационными подходами.
Эта простота, однако, со временем привела к нарастанию в методологическом парке даже только линейных цепей доли методов, очень похожих на приёмы формальной аналитической комбинаторики, слабо мотивированной реальными инженерными проблемами. Как факт это состояние теории весьма наглядно высветила известная, почти бесплодная в отношении окончательных рецептов, многолетняя дискуссия о мощностях в цепях с произвольными токами (характерный пример - публикация [2]). Дискуссия, однако, смогла открыть единственно серьёзную основу для построения решений прозвучавших в ней проблем – это энергетические описания сложных систем в категориях собственных движений этих систем, параметры которых приняты за порождающие инварианты. Баланс энергетических ответственностей и серьёзная энергетическая методология должны быть построены не на топологической или диакоптической комбинаторике, не на анализе токов и напряжений как единственно полезных параметрах, а на энергиях или мощностях порождающих («собственных» для «собранной» системы) несвязанных подсистем. Материальные характеристики подсистем в действительности есть операторы перехода к энергиям и мощностям собственных форм от энергетически бессодержательных без них токов и напряжений. Преобразования операторов подсистем в ходе «сборки» сложной цепи при заданных энергетических инвариантах и должны составить основу новой компактной и эффективной части теории сложных электрических цепей в обновлённом вузовском курсе. Простота манипуляций с токами и напряжениями привела к выпадению из теории электротехники всего раздела о собственных формах систем. Теоретическая электротехника должна наверстать упущенные методологии, идентичные методам аналитической и квантовой механик, всей теоретической физики.
Унитарные преобразования, независимо от конкретной физической природы рассматриваемых систем, принято называть преобразованиями координат состояний, а их способность обеспечивать энергетическую инвариантность и принцип наложения для мощностей и энергий, вместо традиционной для электриков инвариантности токов, приводят к задаче весьма существенной перестройки общей методологии. Параметры типа сопротивлений, импедансов и другие, выступающие в существующей почти два века теории практически как интуитивные характеристики элементов, приобретают при унитарном теоретико-групповом подходе ясные энергетические роли и конкретные аналитические и расчётные возможности.
Построению такой теории в настоящее время способствуют как уровень математики, так и стимулирующая роль компьютеризации, сделавшей фундаментальные методы доступными и, как следствие, целесообразными для прикладной и педагогической разработки. Несмотря на то, что именно на вариационной основе Максвеллом были даны уравнения для полей (векторная форма их создана позже, [20]), а в его работах и в работах Хевисайда были указания и на экстремальные свойства цепей [1], действительно полную инженерную систему такой природы пытался построить лишь Г. Крон [3]. Его система оказалась сложной, методы её быстро устарели, распространения она не получила. Проблемы практики не сняла и колоссальная редакторская работа В.Г. Миронова над книгой Х. Хэппа по теории Г. Крона [4]. Предлагаемая работа является новой попыткой преодолеть сложности на пути к компактной современной теории.
Обоснование основных идей. Рассмотрим последовательность примеров, наглядно иллюстрирующих фундаментальную роль экстремальных свойств цепей в формировании текущих состояний и возможности построения соответствующей теории. Примеры имеют и самостоятельную практическую ценность, вытекающую из энергетической природы экстремальных свойств цепей и связанную с задачами симметрирования многофазных систем [5], с проблемами компенсации [6], электромагнитной совместимости (ЭМС) и другими. Хотя примеры касаются узкой проблемы постоянства мгновенной мощности, они, как кажется, наглядно раскрывают методические аспекты подхода. Детальнее подход описан в [7].
Пусть заданы два резистивных не связанных друг с другом контура с источниками напряжения e01(t) и e02(t) произвольной во времени t формы (рис.1). Их общая мощность
будет неизменной (p(t) = const), если проекции вектора состояния цепи i0(t)T=[i01(t) i02(t)] в любой момент t удовлетворяют уравнению эллипса на плоскости (i1,i2):
где I01m, I02m – полуоси эллипса. В параметрическом описании этого эллипса
для простоты примем j(t) = wt, полагая w угловой скоростью.
Запишем для цепи по рис.1 известный [8] функционал, равный разности между мощностью на резисторах и двойной мощностью источников:
где Rd – диагональная матрица сопротивлений. В работах Максвелла и Хевисайда содержится указание на минимизацию токами цепи мощности потерь [1]. Это означает, что в точке (i01, i02) текущего состояния функционал (4) достигает минимума и численно равен мощности p(t) с отрицательным знаком. Известно ([8,9] и др.), что преобразование конгруэнции матриц в F, например, с помощью ортогональной матрицы T не меняет величины F:
где R – матрица контурных сопротивлений связной (в общем случае) новой цепи (рис.2) с контурными токами i(t)T=[i1(t) i2(t)] и контурными эдс e(t)T=[e1(t) e2(t)]. Для матрицы R величины R01 = l1 и R01 = l1 оказываются после преобразования собственными числами, а соответствующие столбцы матрицы T – собственными векторами.
Если в цепи по рис.1 было обеспечено p(t) = const, то и в новой цепи с матрицей R = TT?Rd?T и источниками TT?e0(t) это постоянство будет сохранено. Реализация его является идеалом с точки зрения электромагнитной совместимости устройств, включая совместимость по симметрии сети, из-за отсутствия в этом случае «набросов» мощности, идущей обычно как на формирование сетевой, так и высокочастотной помех. Существенно то, что (2) может быть выполнено при любом частотном составе токов. Даже самый простой – одночастотный режим p(t) = const цепи по рис.1, обеспечиваемый токами:
где произвольный коэффициент a = b2 определяет соотношения между величинами амплитуд E02m = bE01m и сопротивлений R02 = aR01 несвязанных контуров, позволяет чётко определить множество цепей с постоянной мгновенной мощностью, из которого практика знает лишь симметричную трёхфазную цепь. Множество описаний таких цепей с p(t) = const можно построить, например, с помощью матрицы T плоских вращений (Гивенса):
В частности, при a = 3, a = p/4 и токах по (6) с помощью T по (7) получим контурное описание симметричной трёхфазной резистивной цепи. Можно показать, что сказанное справедливо не только при любом числе «порождающих» контуров по рис.1, но и для случая комплексных их параметров. Заменив все R на комплексные Z получим матрицу контурных сопротивлений связной цепи с той же комплексной мощностью:
Поместим эллипс (6) p(t) = const = P на комплексную плоскость i = i1(t) + ji2(t). Преобразованию (5) с помощью матрицы вращений (7) соответствует поворот этого эллипса, полуоси которого ориентированы по собственным векторам матрицы R, на угол -a:
Записав для общности угол a через элементы матрицы T
a = arctg (T1,2 / T2,2), (10)
можем как проекции (9) далее записать мгновенные значения токов, обеспечивающих постоянство мгновенной мощности в одночастотном режиме:
Отметим, что формулы типа (11) положены в основу алгоритма симметризации (понимаемой как приближение к p(t) = const) устройств электроразогрева бетонной смеси (БС) по [10,11] пропусканием токов промышленной частоты через БС с помощью погруженных в неё электродов. Их расположение и форма продиктованы теплофизическими и технологическими соображениями и не могут в принципе обеспечить традиционную симметрию мощной трёхфазной цепи. В этих условиях возможность выхода на режим p(t) = const обеспечила весьма высокую практическую популярность устройств такого рода.
Отметим также и то, что основным достоинством использованного выше ортогонального преобразования является простота, превращающая известные громоздкие тензорные описания Крона-Хэппа [3,4] инвариантных по мощности преобразований в произведения матриц. Это актуально, в частности, для теории машин. По сути ортогональное расщепление применено, например, в [12] для (обратного по отношению к описанному выше) перехода от записи для трёхфазной системы к записи в осях d и q уравнений машин – простое двустороннее преобразование типа (5) в соответствии с многолетней традицией в главе 4 записано в сложной форме одной матрицы T. Наглядность двустороннего преобразования не только даёт возможность решить новую задачу определения множества цепей с p(t) = const, но и позволяет далее предельно просто обсудить экстремальный аспект процессов в цепях.
Запишем уравнение линии источников на плоскости i = i1(t) + ji2(t) для момента t1:
Поскольку прямая (12) является касательной к эллипсу (9), он оказывается огибающей положений этой касательной в течение периода напряжения (t1 = 0?2p/w). В точке касания имеет место баланс мощностей. Вся возникающая на плоскости геометрическая картина является горизонтальной проекцией взаимопересечений трёхмерных поверхностей, соответствующих слагаемым F по (5), в трёхмерном пространстве, по вертикальной оси которого откладываются мощности, а горизонтальной системой координат остаётся плоскость (i1,i2) (рис.3). Точка состояния цепи для любого t суть нижняя точка поверхности F (на рис.3 не показанной) - точка минимума мощности, выделяющейся на резисторах (мощности потерь).
Определяющим элементом всей описанной выше картины является обязательный компонент любого экстремального толкования физических процессов – мощностной или энергетический инвариант, фундаментальный для данного семейства систем. Его существование делает тривиальной логику формирования конкретной точки состояния системы в любой системе координат. Таким инвариантом в нашем случае является неизменный по форме эллиптический параболоид (Ri,i) мощности потерь данного порождающего набора резисторов R01, R02. Его сечение – эллипс p(t) = const = P мы использовали при обсуждении цепей с постоянной мгновенной мощностью. В общем случае инвариантом будет гиперпараболоид.
Относительно искусственное обращение к набору контуров с p(t) = const в примере здесь позволяет просто пояснить основную проблему, которую пытался преодолеть Г. Крон – разработать универсальные инвариантные по мощности преобразования цепей. Именно они не только упрощают анализ связных систем, но и лежат в основе диакоптики. Цель предлагаемой по гранту работы состоит в чётком формировании класса таких полезных и простых преобразований, пригодных для современной практики и компактной методики.
В нашем примере из группы унитарных преобразований оказалось достаточным использование ортогонального преобразования, соответствующего повороту эллиптического параболоида потерь в однородном координатном базисе. Само условие p(t) = const позволило ввести физичный инвариант цепи – её (гипер)эллипсоид потерь для разных цепей (разных по величине углов a). Из сказанного выше ясно, что численное постоянство мощности также не является принципиальным, а эффективным инвариантом является совокупность собственных параметров, формирующая на экстремальной основе текущее состояние цепи. С этих позиций книга Х. Хэппа [4], посвящённая формальному аппарату, оказалась дальше от весьма физичного замысла Г. Крона, хотя прокламировала практическое применение его идей.
Вращение неизменного по форме параболоида вокруг вертикальной оси в указанном трёхмерном пространстве (например, изменением угла a в (7)) задаёт описания разных цепей семейства. Конкретная цепь, соответствующая определённому углу поворота, является всякий раз лишь «способом наблюдения» инварианта. Токи контуров цепи являются координатами «системы наблюдения», доставляемыми нам как (измеряемые) физические величины с помощью соответствующего набора источников (в состав которых входят в общем случае и реактивные элементы цепи).
В геометрические свойства сечения неизменного параболоида заложены свойства всех произведённых на его основе цепей (обусловленность-жёсткость как отношение собственных чисел R0max / R0min = lmax / lmin, формы траекторий в конфигурационном пространстве и т.п.). Эти свойства, в свою очередь, физически проявляются через матрицу R = TTRdT, которую, как и в квантовой механике, логично квалифицировать как конечномерную наблюдаемую, применяя соответствующий аналитический аппарат. Учебный аналог квантовой механики (с заменой гильбертова пространства на конечномерное с соответствующей заменой скобок Пуассона на коммутатор Якоби и др.) предложен в [13]. В варианте электрофизических систем это раскрывает возможности расщепления, например, матриц контурных уравнений до Rd, необходимости введения в высшей степени естественных категорий базисных и смешанных состояний цепи, коммутативности с энергетически эквивалентными, энергобалансируемыми, многочастотными и нелинейными системами и т.п.
В частности, в связи с проблемами ЭМС значение приобретает известное из геометрии свойство - любое сечение эллиптического параболоида плоскостью суть эллипс одной и той же формы и ориентации. Такой локальный эллипс с центром в точке текущего режима играет роль индикатрисы, определяющей изменение хода процесса при локальных отклонениях режима (это суть принципа Гюйгенса для гамильтоновой механики и оптики). Отсюда ясно, что масштабы следствий из любого отклонения текущего режима цепи будут определяться конкретным направлением вектора этого отклонения в конфигурационном пространстве (это плоскость (i1,i2) в нашем примере с цепью p(t) = const). При больших показателях обусловленности матрицы R одинаковые по величине небольшие «набросы» токов рутинного режима (не обязательно режима p(t) = const) по разным направлениям конфигурационного пространства могут вызывать принципиально разные следствия из-за значительных различий градиента мощности. Их можно рассчитать только на основе анализа собственных чисел (форма эллипса) и собственных векторов R (столбцов T), что обеспечит новые возможности по оптимизации ЭМС-свойств электротехнических систем и устройств.
Исключительно своеобразными свойствами обладают системы с кратными собственными числами однородных описаний. На основе таких цепей автором построены чрезвычайно эффективные самозамкнутые устройства усиления и обработки сигналов. Изучение их практически возможно лишь при экстремальном подходе. Экстремальный подход в целом открывает и другие инженерные возможности.
Постановка задачи для комплекса работ. Изложение выше общей идеи преобразований на примере однородного базиса как основы для работы предпринято в относительно искусственной форме для цепей с p(t) = const с целью чёткого отграничения от трудностей общего случая, когда координатный базис инварианта не является однородным. Проблемы в этих случаях, как показала работа в течение ряда лет, сложны, но могут быть решены новыми и полезными для педагогики и инженерной практики алгебраическими методами путём целевого ограничения вида процессов в цепи. Другой путь, используемый в аналитической механике и квантовой физике, пролегает через использование категорий дифференциальной геометрии и функционального анализа и на данном этапе инженерных методов не создаст. Отметим, что Г. Крон пытался сформировать инженерное алгебраическое решение проблемы преобразований привлечением многомерных дискретных моделей, преобразуемых параллельно в двух однородных базисах – контурном и узловом. Возник сложный и непроизводительный алгоритм. А между тем, множество задач, решённых Г. Кроном, решаются в рамках вышеуказанных унитарных преобразований значительно проще. Например, в [14] автором данного материала предложено использовать для этих целей матричную запись ДПФ-БПФ – преобразование Фурье является унитарным преобразованием. На этой же основе автором разработаны методы расчёта полей, включая трёхмерные, основанные на комбинации укороченного ДПФ-БПФ-преобразования с обобщённой инверсией Мура-Пенроуза, дающей, как известно после 1956 года [15], наилучшие в среднеквадратичном смысле аналитические приближения.
Таким образом, с одной стороны, накоплено достаточно много решений по проблеме унитарных преобразований для цепей, а с другой стороны, окончательное оформление для практики набора таких преобразований и является основной задачей работ.
Несомненна эффективность всего подхода и, в частности, результативность использования мощностных и энергетических инвариантов. В частности, это объясняется тем, что они могут быть применены как для решения чисто вариационной задачи – для построения уравнений состояния системы, так и для решения несколько иной – экстремальной задачи – проблемы отыскания координат текущего состояния системы как текущих координат экстремума. Отметим, что хотя обе задачи считаются вариационными, далеко не всегда последняя задача на локальный экстремум (например, функционала типа (5)), способна доставить и уравнения состояний системы. Например, экспериментально подтверждён факт падения мощности потерь в зоне контакта двух взаимоперекатывающихся проводников с током в случае самопроизвольного разгона их вращения после начального толчка (эффект Губера, [17,18]), что является прямым следствием свойства проводников минимизировать потери. Экстремальный подход даёт технологические идеи для улучшения вращения. Однако закона движения такой системы пока не получено из-за отсутствия убедительных аналитических моделей энергетики зоны контакта и, как следствие, неосуществимости полноценной вариационной формулировки.
Один из вариантов подхода при неочевидности однородного базиса. Как известно, кроме параболоида мощности резистивных потерь для цепей могут быть организованы инварианты на энергетической основе – лагранжианы и гамильтонианы [16]. Однако неоднородность координатного базиса и в этих случаях затрудняет не только практическое применение, но и инженерное осмысление и преподавание. Как наглядный пример практичного решения в этом случае проблемы инвариантных преобразований ограничением вида движений рассмотрим построение лагранжианов и гамильтонианов в соответствующем «искусственно однородном» базисе.
Используем снова пример с двумя контурами при p(t) = const, а также используем возможность формально записывать известный аналог функционала F в случае комплексных параметров порождающих контуров по рис.1:
где Z, E, I и
Пусть в цепи по рис.1 имеет место p(t) = const = 0 – случай чисто реактивных порождающих сопротивлений (R01 = ± jx01, R02 = ± jax01). Например, несвязанные контуры при p(t) = const = 0 имеют чисто индуктивные сопротивления (рис.4а). Установившийся процесс в такой цепи идентичен процессу, идущему при t = 0 в цепи по рис.4б с соответствующими начальными условиями, тривиально следующими из установившегося синусоидального режима цепи по рис.4а для любого момента (для рис.4б они взяты для t=0). Идентичность процессов следует, например, из теоремы о компенсации. Но тогда справедливо и геометрическое представление в трёхмерном пространстве с вертикальной осью мощностей, идентичное описанной ранее картине (здесь параболоид как инвариант характеризует мощность в комплекте индуктивностей, а касательные – в комплекте ёмкостей). Однородность избранных горизонтальных координат обеспечивает физический смысл и наглядность ортогональных преобразований (это повороты – см.выше), описывающих переходы к реальным связным цепям той же мощности (рис.4в).
Перейдём от мощностной к энергетической картине. Воспользуемся постоянством запасов энергии отдельно в индуктивностях и ёмкостях цепи, следующим из p(t) = const:
Это постоянство позволяет построить уже знакомый нам эллипс как геометрическое место точек на однородной координатной плоскости (i1,i2) постоянной энергии в индуктивностях
а также построить уравнение касательной, отражающей энергию в ёмкостях в момент t1:
Видим, что механизм формирования текущего состояния цепи на основе экстремума энергии внешне идентичен описанному выше механизму минимизации мощностей потерь. Обращение к цепи с p(t) = const сделало это наглядным, оставив базис однородным за счёт
Рис.4
ограничения движений синусоидальными. Продолжая пример, укажем конкретнее на трудности, вызванные неоднородным базисом при работе с энергетическими показателями типа лагранжиана и гамильтониана.
За лагранжиан L цепи по рис.4б обычно принимают разницу L = WL(t) – WC(t) между функциями мгновенных значений энергии в индуктивностях и энергии в ёмкостях [16] – в случае процессов в цепи по рис.4б и рис.4в в экстремуме лагранжиан обращается в нуль. Со времён Максвелла одной из обобщённых координат для цепей принимают заряды q, а движения системы считают решениями соответствующего лагранжиану дифференциального уравнения Эйлера-Лагранжа:
где для рис.4б j = 1,2. В состав обобщённых сил Qj включаются напряжения на источниках и резисторах контуров в случае их наличия, производные зарядов по времени
Вводится набор «обобщённых импульсов» pj как производных лагранжиана по токам (в качестве них получаем произведения индуктивностей на свои токи в типичном случае). Тогда разница между скалярным произведением вектора обобщённых импульсов и лагранжианом суть гамильтониан (или преобразование Лежандра для лагранжиана):
Гамильтоновы уравнения движения возникают как система уравнений первого порядка:
Поскольку геометрическим смыслом преобразования Лежандра на плоскости является инверсия соответствующей траектории относительно избранного полюса, то всё сказанное о лагранжианах относится и к эквивалентным им гамильтонианам. Выбор удачных координат для лагранжиана сделал бы доступным для практического применения и гамильтониан.
Действительно, обратившись к уравнению (9) эллипса на плоскости, можем легко убедиться в том, что его инверсия есть прямая, а инверсия прямой (12) есть эллипс, которому, как было сказано, соответствует параболический инвариант. При этом условия их взаимного касания не нарушаются. Таким образом, смыслом преобразования Лежандра является переход от экстремума одной части физической системы в случае его существования к неизбежному тогда экстремуму смежной (или «связанной») её части. Например, поскольку гамильтониан «ведёт себя» так, чтобы сумма энергий стала стационарной, то лагранжиан «минимизирует» разницу между энергиями.
Электротехническим содержанием преобразования Лежандра является, например, факт обязательного существования экстремума энергии в индуктивностях, если существует экстремум энергии в смежных им ёмкостях (рис.4в) или факт существования экстремума мощности набора из источников и реактивностей в случае существования экстремума мощности потерь, каковой и явился предметом обсуждения выше. Эти вопросы в теоретической электротехнике на методологическом инженерном уровне, в руководствах и учебниках никогда не поднимались, не намечались к решению, не применялись в инженерной практике. Планы работы включают и описания соответствующих возможностей.
Необходимо обратить внимание и ещё на одну проблему, открывшуюся в ходе работ по данной теме – неединственность ортогональных преобразований как преобразований для инварианта и в однородном базисе.
Заменим в цепи по рис.2 оба источника на резисторы, а резисторы – на источники, воспользовавшись теоремой о компенсации. Получим два не связанных друг с другом контура с той же мощностью p(t) = const, что и в исходной цепи. Однако легко убедиться, что величины сопротивлений резисторов, заменяющих источники в этом случае, собственными числами матрицы исходной цепи не являются и возврат от них к матрице исходной цепи с помощью какой-либо ортогональной матрицы невозможен. Теорема о компенсации дала неортогональное расщепление цепи, вариантов которого вообще множество. Необходим поиск разумных и плодотворных преобразований в физически прозрачных координатных системах при использовании экстремальных подходов.
В заключение обратим внимание на информационные аспекты изложенного. Для любого одного из контуров цепи по рис.4б на плоскости (
1. Пенфилд П., Спенс Р., Дюинкер С. Энергетическая теория электрических цепей.- М.: Энергия, 1974.
2. Савиновский Ю.Ф., Стратонов А.В. Некоторые противоречия теории мощности. – Изв.вузов. Энергетика, 1984, №10.
3. Крон Г. Тензорный анализ сетей. – М.: Сов.радио, 1978.
4. Хэпп Х. Диакоптика и электрические цепи. М.: Мир, 1974.
5. Шидловский А.К., Мостовяк И.В., Новский В.А. Симметрирование режимов трёхфазных систем с нелинейными однофазными нагрузками. – Электричество, 1991, №2.
6. Хохлов Ю.И. Компенсированные выпрямители с фильтрацией в конденсаторы токов преобразовательных блоков. – Челябинск.: Изд-во ЧГТУ, 1995.
7. Грамм М.И. Вариант дедуктивной организации курса теоретической электротехники. – Электричество, 1996, №10.
8. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984.
9. Грамм М.И. Практические методы численных расчётов для электротехники и электрофизики. – Челябинск.: Изд-во ЧГТУ, 1994.
10. Грамм М.И., Вальт А.Б., Головнёв С.Г. Авт.свид-во. №1544579. Установка для электроразогрева бетонной смеси. Опубл. в БИ 23.02.1990, №7.
11. Грамм М.И., Вальт А.Б., Коваль С.Б. Авт. свид-во №1729761. Способ разогрева бетонной смеси. Опубл. в БИ 30.04.1992, №16.
12. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчёт электрических цепей. – М.: Высшая школа, 1988.
13. Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
14. Грамм М.И. Применение дискретного и быстрого преобразований Фурье (ДПФ-БПФ) к решению систем линейных алгебраических уравнений цепей. – Изв.вузов. Электромеханика, 1991, 9.
15. Грамм М.И. Компактные расчёты полей. – Тезисы докладов III Международной конференции по электромеханике и электротехнологии. – М.: МЭИ, 1998.
16. Janckheere Edmond A. Lagrangian Theory of Large Scale Systems. Circuit Theory and Design. Proc. Eur. Conf. VI. Hague. 1981, №25-28.
17. Нетушил А.В. Изобретение Сирла как развитие эффекта Губера. – Электричество, 1991, №4.
18. Грамм М.И. Возможное объяснение эффекта Губера. – Электричество, 2002, №12.
19. Ректорис. К. Вариационные методы в математической физике и технике. – М.: Мир, 1985.
20. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. – М.: Наука, 1989.
21. Бриллюэн Л. Научная неопределённость и информация. – М.: Мир, 1966.
Автор: Грамм М. И.