Статьи

Ортогональные преобразования уравнений в однородном базисе и расчеты полей

Работа выполнена в рамках гранта Т02-01.5-1128 по фундаментальным исследованиям в области технических наук, утверждённого Министерством образования РФ по результатам конкурса грантов 2002 г.

Предлагается рассматривать уравнения состояний резистивных моделей оператора Лапласа как результат ортогональных преобразований описаний состояний некоторых несвязных «порождающих» цепей, что позволяет впервые определить множество эквивалентных цепных моделей оператора Лапласа и выбрать в нём модели, оптимальные для компактного расчёта потенциальных полей конкретных устройств как при задании граничных условий первого рода, так и граничных условий второго рода. Приведены примеры расчётов полей на персональном компьютере.

Реализация общей программы, изложенной в [1] и предусматривающей использование преобразований квадратичных форм в качестве основы для компактизации многих электротехнических расчётов, построена на использовании компьютера как средства преодоления математических трудностей применения категорий собственных форм и собственных чисел в инженерной электротехнике. Применение этих категорий, являющихся базой весьма мощных алгоритмов теоретической физики, даёт решение многих проблем. Возможно, приводимый ниже пример использования собственных функций оператора Лапласа является одним из самых эффектных результатов преодоления барьера сложностей весьма абстрактной теории собственных форм, дающего в итоге предельно простой алгоритм для относительно сложной электротехнической задачи.

Описываемый метод расчёта функции потенциала поля в n точках принадлежит к классу ДПФ-БПФ-методов, требующих пропорционально n*log2(2) вычислительных операций по сравнению с оценками в n3 операций для прямых методов и n2 для методов последовательных приближений на равномерной сетке. Новизна предлагаемого варианта заключается в способе построения резистивных моделей операторов Лапласа ортогональными преобразованиями несвязного «порождающего» набора цепей. Новый подход даёт множество схемных реализаций модели и открывает возможности выбора оптимальной модели как по критериям вычислительной эффективности, так и по адекватности модели реальному техническому устройству. Приведены примеры расчётов.

Следуя [1], зададимся произвольным комплектом из n не связанных друг с другом контуров, состоящих из резистора проводимостью gk(k = 1, 2, …, n) и источника тока Jk каждый (рис.1). Набор проводимостей gk сведём в диагональную матрицу [G0]=diag[gk], а токи Jk источников тока – в вектор . Все параметры несвязных цепей далее снабжаем символом 0. Систему уравнений для потенциалов несвязной цепи можем преобразовать в систему уравнений для эквивалентной по мощности связной цепи с помощью некоторой ортогональной матрицы [T] = [T]T, [1]:
, (1)

Матрица [G]=[T]*[G0]*[T]T новой цепи будет описывать связную цепь в случае, если [T] не тождественна единичной матрице, поскольку именно в таком случае [G] не окажется диагональной. Собственными числами получившейся матрицы [G] новой цепи будут проводимости gk, а её собственными векторами будут столбцы матрицы , избранной для преобразования. По замыслу [1] свойство ортогональных преобразований сохранять неизменными собственные числа и задавать в явном виде векторы новых цепей обеспечивает возможность построения описаний множества цепей с заданными свойствами. Дело в том, что любая физическая система способна находится лишь в состояниях, описываемых линейными комбинациями собственных векторов их матриц состояния. В частности, применяя в качестве столбцов матрицы [T] собственные векторы оператора Лапласа при разных наборах проводимостей для [G0], можем получать различные цепи, распределение потенциалов по узлам которых идентично распределению потенциалов в исследуемом поле. Такова основа рассматриваемого подхода.

Рис.1. Несвязная исходная цепь

Реализация его строится на том, что собственные векторы оператора Лапласа известны – это синусоидальные функции. Например, если к однородному стержню длиной L с заземлёнными концами j(0) = j(L) = 0 и проводимостью g приложены токи с заданной функцией J(x) распределения по координате x (это граничные условия второго рода и расчёт функции j(x) тогда составляет задачу Неймана), то подстановка функции j(x)(k) = Fm*sin(p*k*x/L), соответствующей краевым условиям при любом целом k, в одномерное уравнение Пуассона
(2)

выявит факт равноценности операций левой части (2) над j(x)(k) простому умножению такой j(x)(k) на скаляр (p*k*/L)2. Именно это и говорит о принадлежности синусоидальной функции j(x)(k) к собственным функциям оператора левой части – одномерного оператора Лапласа в данном случае.

Не затрагивая здесь вопросов полноты отражения всех возможных состояний поля комбинациями из синусоидальных j(x)(k) при различных k, ограничимся инженерной мотивировкой случая, когда нам необходимо с помощью резистивной цепи воспроизвести состояния поля (2) в n равноотстоящих точках внутри интервала x = 0,L, то есть, воспроизвести некоторой цепью потенциалы j[L/(n+1)] = j1, j[2L/(n+1)] = j2,…, j[iL/(n+1)],…, j[nL/(n+1)] = jn.

Как следует из сказанного, уравнения для связной цепной модели одномерного поля можно построить преобразованиями набора независимых уравнений для n контуров с помощью ортогональной матрицы [T] с единично нормированными столбцами-векторами . Несложно показать, что компоненты должны в таком случае следовать нормированному описанию дискретных выборок синусоиды как собственной функции j(x)(k) оператора Лапласа:
, i = 1, 2, …, n, k=1, 2,…, K. (3)

где K ? n. Избираемый для формирования модели комплект [G0] проводимостей g0k определяет схемную реализации модели в соответствии с получаемой матрицей проводимостей [G], структура которой, в свою очередь, определена известным, [2], спектральным представлением неотрицательной матрицы:
, (4)

где матрицы есть ортогональные проекторы [G]. Из (4) видим, что выбор комплекта g0k = lk действительно есть выбор схемы модели при рассматриваемом подходе и может быть увязан с параметрами реального устройства (электролиз, прогрев бетонной массы, электросварка и т.п.), по каким-то иным свойствам, не вошедшим в (4). Известные схемы моделирования ограничиваются вариантами g0k = lk, определяемыми по формуле:
, (5)

где ga и gb – проводимости схемной модели по рис.2. Практически всегда ([3] и др.) они применяются в варианте ga = gb = 1, что даёт набор g0k = lk как набор чисел равномерной геометрической сетки. Возможностей вариации для резистивной модели такой подход не содержит, хотя и имеет достоинство в том, что при g=1 все n строк системы принимают предельно простой вид:
, i = 1, 2,…, n, (6)

Однако, при решении методами ДПФ-БПФ простота формы (6) не имеет никакого применения, что ясно из следующего далее.

Общая последовательность описываемого расчёта вектора потенциалов вытекает из (4) и состоит в проектировании вектора заданных токов операцией на направление вектора и выполнении умножения , дающего k–ую составляющую вектора потенциала.

Рис.2. Модель одномерного оператора Лапласа

При следовании описанию (3) матрица [T] преобразований по (1) есть матрица нормированного преобразования Фурье [FT]=[T], и при n равном целой степени числа 2 операция проектирования становится стандартной процедурой быстрого преобразования Фурье (БПФ), средства для выполнения которой обычно входят в математические пакеты персонального компьютера. В результате получаем предельно компактное решение задачи отыскания потенциала:
, (7)

где символом помечено адамарово произведение (или произведение Шура, “term by term production” – «поэлементное» в англоязычных пакетах) вектора из обращённых собственных чисел цепи на Фурье-представление вектора заданных токов. Отметим, что запись этого представления в форме (с транспонированием [FT]) позволяет рассмотреть ещё и вариант укороченного ДПФ (УДПФ), когда в составе вектора токов невелика роль тех или иных пространственных гармоник. В этом случае, как следует из (4), в составе потенциалов соответствующие гармоники будут также невелики и стандартная процедура может быть ещё укорочена. Необходимо отметить также, что эта последовательность решения одномерной задачи Неймана при K = n даёт её точное решение. Описанная процедура может быть применена и при решении задачи Неймана и большей размерности (см. ниже), а также допускает комплексные компоненты векторов.

Рассмотрим другой вариант одномерной полевой задачи – заданы потенциалы части узлов в точках питающих электродов и необходимо рассчитать потенциалы свободных узлов (задача Дирихле). В этом случае появление внутренних сопротивлений источников напряжений меняет матрицу [G] состояний относительно рассмотренной выше – её собственные теперь решающим образом зависят от расположения источников и использование их для расчёта резко усложняется. Однако, уже на уровне «порождающей» схемы рис.1, видно, что возможна эквивалентная по потенциалам замена источников тока источниками эдс. Произведя такую замену, можем использовать прежние описания собственных чисел. Удобным на практике оказался следующий алгоритм, построенный на последовательной подгонке потенциалов точек подсоединения электродов к величинам, заданным источниками.

С помощью собственных чисел избранной модели находим нулевое приближение вектора токов эквивалентных источников тока, полагая возможным разложение вектора заданных потенциалов по синусоидальным собственным векторам. Оставив в полученном векторе ненулевыми только те токи, что подходят к узлам с источниками заданных напряжений, находим по (7) потенциалы первого приближения и с их помощью находим первое приближение множителей . Получив вектор подгоночных множителей, вычисляем далее вектор токов источников в первом приближении. Затем повторяем расчёт по (7) и рассчитываем токи второго приближения и т. д. (пример 1). Таким образом, вместо задачи Дирихле решается рассмотренная ранее эквивалентная задача Неймана. Расчёт продолжается до равенства с заданной точностью величин потенциалов узлов с источниками значениям напряжений источников. Скорость убывания расхождения между получаемыми в расчёте потенциалами и напряжениями источников зависит от доли узлов с заданными потенциалами в общем числе узлов. Оценка этой скорости возможна, но очевидно, имеет ценность лишь для группы сходных задач.

Эксперименты по изучению свойств такого расчёта в конкретной ситуации легко провести по программе примера 1 для расчёта одномерного поля, написанной на языке интерфейса пакета MathCAD 2000. Для оценки метода существенно то, что чрезвычайно компактный вид и объём вычислительной части программы не зависят от числа точек и количества итераций. Для конкретной одномерной задачи Дирихле достаточно в программе примера 1 соответственно изменить способ определения собственных чисел и, естественно, изменить ту её часть, что задаёт расположение и потенциалы электродов конкретной задачи.

Кратко поясним особенности применения описанной тактики при исследовании двумерного поля и некоторые детали соответствующего расчёта.

Поскольку вид каждого из слагаемых оператора Лапласа в двумерном уравнении Пуассона
, (8)

идентичен виду одномерного оператора (2), то собственными функциями оператора в правильной прямоугольной области остаются синусоиды по каждой из двух координат, что хорошо известно. Принято, [3], при нулевых краевых условиях в ходе сеточного моделирования поля в такой области размером K?L ячеек (рис.3) собственные функции потенциала записывать в форме произведения синусоид – в виде «двойных гармоник», характеризуемых каждая своей парой чисел k=1, 2,…, K и l=1, 2,…, L по каждой из координат с соответствующей каждой паре амплитудой и следующим законом распределения по номерам узлов i=1, 2,…, K (соответствуют точкам поля, перечисляемым по оси x), j = 1, 2,…, L (точки поля по оси y):
. (9)

Несложные рассуждения технического характера показывают, что в этом случае целесообразно ДПФ выполнять в форме двустороннего умножения на две матрицы [F1] и [F2] (пример 2 ниже), элементы которых соответствуют сомножителям в представлении (9):
, i, k = 1, 2,…, K,
, j, l = 1, 2,…,L. (10)

Как и в одномерном случае, ортогональное преобразование с помощью (9) даёт множество моделей, выбор среди которых проводится в связи с конкретной технической задачей. Общая схема расчёта, как было сказано, от этого не зависит и в примере 2 ниже использованы простейшие ячейки, обозначения проводимостей резисторов для которых представлены на рис.3, а их величины взяты как собственные числа шеститочечной ячейки прямоугольной сетки:
, (11)

где ga и gb – проводимости резисторов модели по осям x и y соответственно, gc – проводимость, «заземляющая» каждый из узлов модели. В случае геометрической сетки (например, при расчёте потенциального поля в диэлектрике) эти параметры характеризуют величины, обратно пропорциональные соответствующим размерам ортогональной сетки.

Рис.3. Ячейка для двумерной области K?L
(источники не показаны)

Исключительную практичность рассматриваемой группы методов продемонстрировала длительная работа над семейством устройств электроразогрева бетонной смеси (БС) для зимнего бетонирования пропусканием токов с помощью погруженных электродов, питаемых от трёхфазного понизительного трансформатора [4,5]. Проводимость БС относительно слабо зависит от пропускаемого тока. Получающуюся в результате этой зависимости нелинейность весьма точно можно эквивалентировать введением искусственных, в соответствии с [3] источников тока, оставляя всю задачу линейной задачей Дирихле. Оперативность таких расчётов и их доступность практически для любого персонального компьютера позволяют в производственных условиях моделировать процесс в реальном времени вплоть до начала распространения по массе БС фазы твердения (переход от пошагового эллиптического расчёта параболической задачи теплопроводности к принципиально нелинейной задаче Стефана), что делает квазилинейный расчёт невозможным. Практика показала высокую эффективность такого расчёта при отладке конвейерного бетонирования в условиях весьма случайного параметра электропроводимости применяемой воды.

В примере 2 представлена программа в обозначениях интерфейса математического пакета MathCAD 2000 для расчёта поля растекающихся токов в линейной БС в устройстве электроразогрева по рис.4, питаемого от трёхфазного трансформатора напряжением 65 вольт. Как и в одномерном случае, объём и вид вычислительной части программы от конкретной задачи не зависит.

Рис.4. Размеры устройство электроразогрева
бетонной смеси для примера 2.

Выводы.

1. Подход к дискретному преобразованию Фурье как к варианту ортогонального преобразования описаний несвязных цепей с целью построения резистивных моделей оператора Лапласа открывает возможности выбора более адекватной реальному техническому устройству модели, способствует созданию беспрецедентно компактных среди известных инженерных методик расчёта потенциальных полей практически любой формы и при граничных условиях как первого, так и второго рода. Метод создаёт инженерную основу для надёжных и простых расчётов входных сопротивлений, мощностей и общих энергетических характеристик устройств со сложными формами растекания токов – устройств электролиза, электросварки, электроподогрева БС, электропроводящих полов, панелей и т.п.

2. Компактность и оперативность выполнения расчётов полей позволяют распространить ДПФ-БПФ – методы и на расчёты полей в слабонелинейных средах путём несложного эквивалентирования нелинейностей дополнительными («вторичными») источниками, а также применять эти методы при пошаговом моделировании более сложной задачи теплопроводности в связи с возможностью с их помощью быстро выполнять повторный полевой расчёт через малые шаги по времени (расчёт 5000 точек поля по программе примера 2 компьютер с тактовой частотой 1200 мегагерц выполняет примерно за 0,3 секунды).

3. Представляется весьма высокой и учебно-методологическая ценность предлагаемого подхода, раскрывающая электротехническое содержание собственных векторов и собственных чисел матриц описаний состояний электротехнических устройств.

Приложение. Примеры программ для компактных расчётов полей.

Пример 1. Расчёт одномерного поля.




Пример 2. Расчёт двумерного поля.






Результирующие графики расчёта поля.
Эквипотенциали по модулям потенциалов:

Модули потенциалов:

Плотности токов электродов:

Литература

1. Грамм М.И. Вариант дедуктивной организации курса теоретической электротехники// Электричество – 1996 - №10.
2. Матрицы и вычисления/ В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов – М.: Наука, 1984.
3. Машинные расчёты электромагнитных полей/ К.С. Демирчян, В.Л. Чечурин – М.: Высшая школа, 1986.
4. А.с. №1544579. Установка для электроразогрева бетонной смеси/ Грамм М.И., Вальт А.Б., Головнёв С.Г. Опубл. в БИ 23.02.1990, №7.
5. А.с. №1729761. Способ разогрева бетонной смеси/ Грамм М.И., Вальт А.Б., Коваль С.Б.. Опубл. в БИ 30.04.1992, №16.









(c) All rights reserved. Copyright 2003-2004.
Design: Sergey Zwezdin. Programming: Sergey Zwezdin, Alexey Volkov.