Дедуктивная теоретическая электротехника

Рћ РєСЂР°С‚РЅС‹С… РєРѕСЂРЅСЏС… Рё РјР°С‚РµРјР°С‚РёС‡РµСЃРєРѕР№ С‚СЂР°РґРёС†РёРё

Ниже предлагается обратить внимание на узость принятых в математике описаний соб-ственных векторов кратных собственных чисел полноранговых матриц, способную для инже-нера стать препятствием к раскрытию важных свойств физических систем, в частности, элек-тротехнических. Рассуждения иллюстрируются описанием реальной цепи.

Пусть стандартными процедурами для некоторой сложной физической системы получе-но n-мерное описание ее состояния в виде системы уравнений со строками одной физической размерности («однородный базис» описания) :

(1)

где

- вектор состояния, [A] - постоянная матрица состояний,

- воздействие. К форме (1) могут быть сведены описания состояний многих физических объектов – электрических цепей, механических, теплотехнических и т.п. устройств.

В любом случае

в (1) оказывается линейной комбинацией собственных векторов

(s=1,2,…,n) матрицы [A] . Это обусловлено «проектирующей» [1] способностью физических систем, выражающейся в том, что векторы их состояний полностью описываются проекциями вектора

на ортогональный базис [A] . Косвенно матрица [A], таким образом, является специфическим «списком» состояний. Оценка [A] как списка состояний (в дополнение к традиционной оценке [A] как характеристике материальных свойств системы) обращает внимание на путь построения физических систем с желательными состояниями

организацией матриц [A] заданием

с помощью соответствующего набора

. Этот путь для электрических систем описан в [2]. Рассматриваемая ниже проблема возникает при синтезе таким путем физических систем, матрицы которых имеют кратные собственные числа.

Вообще центральным моментом в указанном процессе организации матрицы [A] состояний системы является применение преобразования подобия, которое физически соответствует сборке желаемой связной системы из несвязного набора целесообразно подобранных порождающих подсистем с материальными характеристиками

- собственными числами будущей [A] :

(2)

где [S] - матрица, столбцы которой образованы векторами

желательных «базисных» состояний связной системы (то есть тех из состояний

, что совпадают с собственными векторами будущей системы, [2,3,4]),

, - диагональная матрица из параметров подсистем как собственных чисел [A].

Поскольку применяемые для «сборок» матриц [A] по (2) разные [S] при неизменном наборе

являются по сказанному выше ортогональными матрицами, то все получаемые [A] с различными собственными

(столбцами [S]) им соответствующие физические системы будут иметь не только общий спектр

, но и одинаковые значения квадратичной и соответствующей билинейной (в случае применения [S] и к

) форм, являющихся, в свою очредь, исключительно важными энергетическими показателями физических систем :

(3)

Преобразование (2) в общем случае определяет множество различающихся по топологии, но эквивалентных энергетически (по величине P) систем. Например, оно определяет множество топологически различных электрических цепей с одинаковой мощностью P потребления, [2]. Случай кратности каких-то чисел из спектра

ниже и обсуждается. При кратности корней строится система, способная находиться в состояниях с разными

на одном и том же энергетическом уровне P по (3). Инвариантность квадратичной формы для семейства разных систем обогащается в случае кратных

и инвариантностью различных состояний системы при одной и той же форме

. Такие системы представляют исключительный технологический интерес. К сожалению, их инженерное проектирование усложнено невнятностью описаний свойств векторов кратных

практически в любых современных руководствах и в математических пакетах ЭВМ. Избежать неприятных следствий этой невнятности при проектировании реальных электротехнических и других устройств поможет данная статья.

Дело в том, что традиционные неоправданно узкие описания провоцируют вывод о том, что энергетическая инвариантность физической системы сохраняется для состояний, одно-значно связанных со своим числом независимо от его кратности. Нетрудно показать, что кратному числу соответствуют множества форм, размерность которых обусловлена числом кратности. Собственные векторы для m-кратных собственных чисел в действительности удовлетворяют m-сферическим условиям, единственно способным отразить полностью уни-кальные свойства соответствующих физических систем. Формально безошибочная и безобид-ная на первый взгляд традиция указания неких конкретных векторов для конкретных чисел внутри единичной m-сферы оборачивается потерей инженерных возможностей. Рассмотрим некоторые детали проблемы и поучительный электротехнический пример.

Пусть в наборе

оказались два одинаковых числа

. В силу сказанного выше им соответствуют в задаваемом наборе

два взаимоортогональных вектора

. Кроме них собственными для матрицы [A] по (2) окажутся и векторы, построенные линейным комбинированием

(4)

при произвольных c1 и c2, что широко известно. Менее известно то, чти константы c1, c2 можно выбирать, не нарушая единичной нормировки

и управляя ими с помощью одного параметра. Нетрудно обнаружить, например, такой путь формирования вектора

с помощью некоторого параметра

(5)

сохраняющий

. Можем ввести и ортогональный

вектор

(6)

Легко убедиться, что при любых

соблюдается равенство

(7)

свидетельствующее о том, что вклад «новых» векторов

в проектирующее действие матрицы [A] совершенно идентичен вкладу «истинных» векторов

Это действие отражает известное [3] спектральное представление

, в составе которого матрицы

и есть проекторы [A] :

(8)

Учитывая это, а также и то, что «новые» векторы

ортогональны всем остальным собственным векторам

(9)

можем в целом заключить на данном этапе, что описания (5) и (6) относятся к описаниям соб-ственных векторов матрицы [A] при любом значении

. Последнее, в свою очередь означает, что собственные векторы дважды кратного собственного значения определяют не какие-то конкретные направления, а задают гиперплоскость этих векторов в линейном пространстве, ортогональную ко всем остальным векторам (или к плоскостям - в случае, если есть другие кратные собственные числа). Очевидно, m-кратным собственным значениям соответствует единичная m-гиперсфера в линейном пространстве. Дело в том, что компактно операции по (5)-(6) могут быть записаны с помощью известных [3] матриц плоского вращения (матриц Гивенса) :

(10)

В случае трехкратного собственного значения можем использовать операцию трехмерного вращения, при m-кратности - m-мерного вращения.

Рассмотрим пример появления матрицы с такими свойствами при описании весьма рас-пространенного и несложного физического объекта - каскадной электрической цепочки из индуктивно-емкостных подсистем. Аналогичная ей по своему математическому описанию самозамкнутая цепочка осцилляторов может быть построена и из механических элементов. Цепочка является моделью колебаний в плазме, в клистроне, в упругом однородном кольце и т.п.

Пусть n одинаковых катушек индуктивностью L каждая соединены последовательно в кольцо. От каждого узла между катушками такого кольца к одному общему узлу ведут n вет-вей с конденсатором емкостью C в каждой. Суммы напряжений по всем n замкнутым конту-рам такой цепи, состоящим из двух C и одной катушки L , будут равны нулю согласно второ-му закону Кирхгофа. Выразив все напряжения таких сумм через контурные токи

получим систему уравнений со строками вида :

(11)

где принято

Пусть в системе осуществлены с помощью соответствующих начальных условий одночастотные свободные колебания :

(12)

Подставив (12) в (11), получим систему для неизвестных

, состоящую из таких строк :

(13)

Перепишем (13) в матрично-векторной форме :

(14)

Нетривиальное решение для

возможно в случае равенства определителя системы (14) нулю. Расчет его эквивалентен нахождению собственных чисел матрицы [A] в соответствии с их общим формальным определением [3] :

(15)

В данном случае собственные числа пропорциональны квадратам частот собственных колеба-ний в системе. Положив для упрощения дальнейших рассуждений LC=1, можем записать матрицу [A] в предельно простом виде

(16)

Матрица [A] принадлежит к классу матриц с однородными диагоналями - к теплицевым мат-рицам. То, что она принадлежит к циркулянтному их подклассу, делает возможным получение собственных чисел и векторов в аналитическом виде. Действительно, обозначив первый стол-бец ее как вектор

(17)

можем воспроизвести саму матрицу с помощью полинома

(18)

где I - единичная матрица, P - известная [3] матрица циклических перестановок. Представле-ние (18) возможно только для циркулянтов. В свою очередь, все циркулянты имеют общий базис из собственных векторов, являющихся столбцами обратной матрицы

дискретного преобразования Фурье (ДПФ) :

(19)

где

комплексный единичный вектор. Упомянутая выше обратная к [F] матрица может быть записана через сопряженную :

(20)

В связи со всем сказанным мы располагаем в данном случае спектральным представлением [A] в форме, справедливой для любого циркулянта вообще [3] :

(21)

В представлении (21) диагональная матрица

суть список собственных значений матрицы состояний [A]. Нетрудно убедиться, что при n>2 в спектре [A] рассматриваемого кольца появляются дважды кратные числа. Например, при n=5 спектр таков : 0; 1,38; 1,38; 3,62; 3,62. Очевидно, задаваясь столбцом

можем строить по (21) и другие циркулянты, соответствующие реализуемым физическим системам. Например, в электротехнике матрицы, спектр которых состоит из квадратов частот, квалифицируются как «матрицы состояний реактивных цепей» [5], которые обычно реализуемы.

Физическим выражением кратности собственных чисел матрицы (16) рассматриваемого кольца из LC-звеньев является неопределенность положения стоячей волны тока, соответст-вующей решениям вида (12). Параметр

произволен и может быть сочтен за координату узла стоячей волны тока в кольце :

(22)

где N = 1,2,...,n - номер индуктивности, k = 1,2,...,int[(n-1)/2] - число целых волн огибающей амплитуд

по кольцу. В зависимости от начальных условий, рассматриваемая цепь будет иметь то или иное расположение стоячей волны установившегося режима. Такие объекты, приходящие к разным установившимся режимам при разных начальных условиях, квалифицируют как неконвергентные и в инженерном плане применения их исключительно разнообразны. Небольшие управляемые вариации любого параметра элемента физического кольца приведут к сколь угодно существенным изменениям положения волны. Это свойство реально наблюдается в кольце рассматриваемого вида и позволило создать ряд чрезвычайно эффек-тивных на практике устройств усиления [6,7], устройств частотной дискриминации [8], инди-кации фазы и т.п. Теоретические исследования их проводились численными методами лишь на неоднородных моделях, предполагающих отклонения параметров кольца от однородных по (16), [9,10].

Поведение волны в кольце приведенного примера предельно наглядно отражает не только исключительную чувствительность физической формы колебаний, но в большой сте-пени отражает и сложность ситуации при численном отыскании векторов в этом случае, а также трудности инженерного расчета этого исключительно плодотворного в прикладном плане расположения собственных. Сложность не раскрывают традиционные описания, что в итоге и заставило подготовить эту публикацию.

Как уже было отмечено, формально исчерпывающее ситуацию выражение (4), как и дру-гие подобные описания в действительности поддерживают неверное впечатление о якобы существующих конкретных собственных направлениях при совпадении корней. Кроме того, запись (4) в трех- и многомерных случаях совпадений вообще неполна. Обсудим существую-щее положение.

Нет оснований считать неизвестным для авторов упоминаемых ниже руководств факта существования бесконечного числа собственных векторов в случае кратности

однако следует обратить внимание на форму описаний собственных векторов кратных

в этих руководствах.
Например, в [11] для матрицы

(23)

при

методом обратной итерации получены конкретные векторы

о неединственности которых ничего не сказано. Более того, читаем замечание на стр.296 к этой ситуации - «когда [A] имеет патологически близкие собственные значения, будет обнаружено, что вектор чрезвычайно чувствителен к тому значению

, которое используется». Иначе, как призывом не уклоняться от поисков «истинного» вектора такое замечание не истолковать. Здесь бы более подошло сообщение о том, что все эти внешне различные векторы являются с той или иной точностью собственными при данных близких собственных числах...

Понимая после сказанного в данной статье ситуацию с множественностью собственных векторов в таких случаях, а также сравнивая влияние начальных условий в кольце описанно-го выше физического примера с влиянием векторов начального приближения в численных расчетах, легко предсказать и получение внешне сильно различающихся векторов в разных тактиках расчетов. И действительно, если к матрице (23) применить метод исчерпывания по [12] (например, в виде программы с ключевым фрагментом из [13]), то получим для

иные векторы

, которые в действительности связаны по (4) и (5) с полученными в [11] векторами через параметр

= 0,615 . Нетрудно решить и другую задачу: по списку собственных чисел матрицы (23) описанными выше операциями получить матрицу-циркулянт n=3, свойства которой полностью воспроиз-водят свойства (23) (ее первый столбец

. Тут выясняется, что для многих алгоритмов отыскание векторов при кратных

оказывается проблемой. Например, MathCad 7.0 в этом случае выдает отличные от вышеприведенных собственные векторы, которые даже биортогональными не являются (при симметричной матрице [A]...).

Тот факт, что ни при какой реальной технологии абсолютной однородности описанного выше физического LC-кольца не получить, очевиден. В общем случае реального объекта кратность собственных чисел в действительности также имеет место лишь как приближение. Этому соответствует обязательная полноранговость соответствующих матриц, которой при точной кратности формально нет. В частности, при существующих численных алгоритмах невозможно получить все ортогональные векторы точно кратного

. В итоге численная практика вынуждена воспроизводить реальную ситуацию, задаваясь как бы искусственной неоднородностью для расщепления кратных

. В [11] автор советует задаваться при этом различающимися на

«кратными»

при конкретном для данной ЭВМ параметре t. Из приведенной выше связи

видим, что, например, в LC-кольце этим вводится неоднородность, задающая получаемые затем в расчете те или иные уже неслучайные векторы семейства. Практически более полезны соотношения типа (5)-(6) в этом случае, которые можно построить уже после отыскания одного вектора для данного

В свете сказанного представляется недостаточным описание множества собственных векторов лишь тривиальной формой (4) в случае кратности собственных чисел. Единственное указание на геометрическую специфику собственных векторов кратных собственных чисел среди доступных инженеру руководств содержится в [14]. Там сообщено об m-гиперсфере семейства собственных векторов при m-кратном

. Из обширной литературы к этому можно добавить еще два примера из [15], относящихся к множественности собственных векторов несимметричных матриц разных рангов с кратными

Столь распространенная невнятность в этом вопросе способствует, на наш взгляд, раз-витию специфических ошибок в двух областях : при численных расчетах векторов и в анализе сложных систем. Незнание указанного свойства выражается в обнаружении «необъяснимой» зависимости получаемых векторов от алгоритма расчета и от малых вариаций параметров, в приписывании матрице состояний несуществующей на самом деле плохой обусловленности.

Представляется, что изложенный выше материал достаточен для привлечения внимания, во-первых, к роли собственных чисел матриц состояния и возможных оценок физических свойств соответствующих реальных систем с их помощью. Во-вторых, случай кратных и близких собственных чисел следует оценивать как не вполне изученный и чрезвычайно бога-тый особенностями, которые в электротехнических объектах могут находить достаточно не-ожиданные и новые проявления в форме резких изменений характера переходных процессов системы при небольших изменениях параметров, в форме неустойчивостей режимов и т.п. Следует иметь в виду и возможность ошибочного отнесения многих хороших в расчетной устойчивости задач к плохо обусловленным из-за скрытой кратности характеристических корней матриц состояния.

___________________ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ___________________
1. Валеев К.Г. Расщепление спектра матриц. – Киев. : Наукова думка.1978.
2. Грамм М.И. Вариант дедуктивной организации курса теоретической электротехники. - Электричество, 1996, № 10.
3. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е.. Вычислительные процессы с теплицевыми матри-цами. - М. : Наука, 1987.
4. Фаддеев Л.Д., Якубовский Щ.Ф. Лекции по квантовой механике. - Л.: ЛГУ, 1980.
5. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических це-пей. - М.: Высшая школа, 1988.
6. А.с. №371666. Параметрический усилитель-модулятор постоянного тока./ Грамм М.И., Соколов В.А. Зарегистрировано 6.12.1972.
7. А.с. №387631. Усилитель-модулятор постоянного тока./ Грамм М.И., Соколов В.А. Зарегистрировано 28.03.1973.
8. А.с. №419184. Параметрический частотный дискриминатор./ Грамм М.И., Соколов В.А. Зарегистрировано 14.11.1973.
9. Жарков Ф.П., Соколов В.А. Цепи с переменными параметрами. М.: Энергия, 1976.
10. Соколов В.А., Грамм М.И. К вопросу о возбуждении колебаний в системе с беско-нечным числом степеней свободы. - Радиотехника и электроника, 1973, № 2.
11. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.
12. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: ГИФМЛ, 1960.
13. Stewart G.W. Introduction to Matrix Computations. N.Y. & London.: Academic Press Inc. 1973.
14. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: ГИФМЛ, 1961.
15. Zurmuhl R., Falk S. Matrizen und ihre Anwendungen (funfte Auflage ). Berlin, Goetingen, Heidelberg.: Springer Verlag, 1975.