Статьи

Электрофизические модели сложных экономик

М.И. Грамм, Южно-Уральский государственный университет
Ф.Н. Шакирзянов, Московский энергетический институт
(технический университет)

Введение. Обилие вариантов экономико-математических графовых построений, для которых даже беспрецедентно большая библиография работ до 1984 года в [1] не мо-жет считаться исчерпывающей, практиками зачастую трактуется как отсутствие опера-тивно полезного графового приёма. Это подозрение подкрепляется реальной громоздко-стью процедур в графах, обусловленной в большинстве методик их комбинаторным ха-рактером с соответствующим ростом числа операций (часто в темпе факториала) по мере усложнения причинно-следственной (каузальной) структуры модели. Вместе с тем про-гностические возможности графового приёма для экономического планирования в прин-ципе несопоставимо шире возможностей любых табличных анализов. Отличие статисти-ческого корреляционного или иного анализа таблиц данных о поведении реальной систе-мы или модели от графового анализа родственно отличию алгебраического уравнения от дифференциального – любая таблица описывает конкретное поведение системы, а граф «содержит свойства системы». В частности, граф способен содержать нераскрытое описа-ние «грозящей катастрофы», заложенной в структуру, но ещё не проявившейся.

В предлагаемой статье описан вариант интегрального описания свойств графа мо-дели экономической системы и связи этих свойств с практическими показателями рыноч-ных экономик. Целью является создание несложного практичного инструмента оценки на основе графа при умеренных трудоёмкости и строгости математического обоснования.

Показано, что для оценки и прогнозирования состояний систем определённого, но весьма распространённого типа можно использовать многообразия возможных траекторий состояния, построенные на основе каузального графа системы. Многообразия траекторий формируются как результат действия некоторого экстремального принципа для экономи-ческих систем, аналогичного принципу минимума потерь для электрофизических систем [2]. Инвариант, следующий из соответствующего функционала потерь, интегрально отра-жает свойства семейств систем, обладающих близкими графами. Изучение свойств инва-рианта способно заменить комбинаторный перебор траекторий по графу.

При начальном обосновании приняты все допущения, применяемые в линейном межотраслевом балансе [3, 4]. Важным достоинством предлагаемого перехода от каузаль-ной структуры системы к характеристикам инварианта, вытекающего из экстремальных свойств, является возможность компактно и наглядно раскрывать следствия действий уча-стников экономики для эволюции её конкретного состояния, определяемого координата-ми внутри инварианта модели, что интересно с педагогической точки зрения.

Каузальный мультиорграф и пример его применения. Пусть известна технологическая матрица A конкретной экономики с n отраслями, производящими в стоимостном выражении объёмы, описываемые компонентами вектора x как для потребления, так и для рыночных заказов R Тогда уравнение баланса

(1)

может быть решено простейшим итерационным методом (методом Ричардсона) [5]:

(2)

где I– единичная матрица, k=0, 1, 2,… возрастает неограниченно при расчёте точного x.

Вопрос о сходимости суммы (2) к точному решению

(3)

системы (1), существующему в любой ситуации при неособой матрице , свяжем с проблемой реализуемости и стабильного существования данной экономики, применив схему причинно-следственных (каузальных) связей между участниками экономики. Примем матрицу A за матрицу смежностей такого мультиорграфа, передачи рёбер которого между i и j его вершинами равны величинам aij (i, j = 1, 2, …, n) соответствующих элементов A.К вершинам, соответствующим компонентам R , проведём единичные рёбра. Поскольку элементы Ak равны произведениям передач рёбер мультиорграфа на путях длиной в k рёбер [1], то сумма окажется конечной, если величины этих передач при k -> стремятся к нулю. Ряд (2) может быть записан в спектральной форме с разложенным по собственным векторам матрицы A вектором правой части с участием соответствующих собственных чисел :

(4)

Форма (4) демонстрирует решающую роль спектра матрицы A. Например, если модуль хотя бы одного из превысит единицу, то ряд (2) и его форма (4) не сойдутся. Отметим, что при росте k передачи для (2) по соответствующим путям в возрастающей доле определяются передачами циклов мультиорграфа. Поскольку суммы передач циклов разной длины задают те или иные коэффициенты характеристического уравнения матрицы A, [1], то сходимость (2) и (4) оказывается связанной с параметрами циклов мультиорграфа. Ниже мы это используем в простом примере, демонстрирующем адекватность отображения слагаемыми ряда (2) разумных действий участников и, следовательно, демонстрирующем эффективность графа при оперативной оптимизации. Таким примером является линейная модель рынка одного товара или же ситуация, когда в системе (1) возникает независимая от других пара отраслей. Пример позволит далее ввести электрофизический аналог экономической системе и соответствующий экстремальный принцип.

Пусть p0D есть исходная цена единицы товара, ниже которой становятся реальными продажи с ненулевой интенсивностью q>0 в единицу времени. Совместно с предельной интенсивностью q0 покупок на рынке линейный подход даёт известное описание спроса:

(5)

где a – постоянный коэффициент, характеризующий конкретный рынок.



Рис.1. Рынок одного товара Рис.2. Каузальный мультиорграф рынка

Известна оценка параметров p0D и a как перегруженных по выводимым из них след-ствиям. Дело в том, что модель (5) используется обычно вместе с моделью поставок, ха-рактеризуемой исходной ценой p0S и коэффициентом b нарастания цен с увеличением q:

(6)

Поскольку величины компромиссных цены pcom и интенсивности продаж qcom (рис.1) должны быть такими, чтобы обеспечить близость к максимуму выручки от продаж

(7)

а выручка максимальна при q0/2, то действительно из параметров p0D и q0 весьма одно-значно следуют pcom и qcom. Также из них следуют оптимальные свойства поставщиков и даже свойства хода торгов (см. ниже). Тем не менее, простоту линейной модели относят к достоинствам, ограничивая обычно её применение районом точки равновесия рынка.

Составив систему (1) из уравнений (5)-(6), запишем для нашего примера ряд (2):

(8)

Каузальный мультиорграф, соответствующий матрице A в составе (8), представлен на рис.2. Легко видеть, что компоненты первого слагаемого ряда (8), равные для pcom и qcom соответственно p0D и -p0S/b, могут быть получены и топологически – по рис.2 как передачи характеристик «точек поглощения» p0D и - p0S/b в вершины неизвестных (pcom или qcom ). Так же по графу могут быть получены и все дальнейшие слагаемые в (8) – по сказанному выше о степенях A любой ненулевой вклад, соответствующий степени k матрицы A в (8), получаем как передачи характеристик «точек поглощения» в вершину неизвестного по маршруту длиной в k+1. Поскольку эти результаты тождественны результатам лагов известной «паутинной модели» (рис.3), то операции в графе для получения слагаемых (8) логично считать отражающими действия участников, мотивированные каузальными связями между ними. Сходимость (2) и (8) логично расценивать как симптом реализуемости экономики, каковая не гарантируется наличием формального решения (3).



Рис.3. Ход торгов на рынке одного товара

В случае неотрицательной матрицы динамика описанного вида имеет экстремальную подоплёку. Перед её раскрытием рассмотрим пример оптимизации динамики с помощью графа, попытавшись реализовать более благоприятный монотонный процесс торгов, чем неоптимальный колебательный, представленный на рис.3.

Из спектральной формы (4) следует, что монотонный ход p(t) (рис.3) возможен при для собственного числа то есть, в том случае, когда вектор R правой части системы уравнений баланса оказался бы одним из собственных векторов матрицы A, соответствующим её положительному вещественному собственному числу, меньшему единицы по модулю. Характеристическое уравнение для матрицы в (8) (матрицы смежностей для рис.2) даёт чисто мнимые решения:

(9)

Сходимости (8) можно добиться, сделав a/b < 1. Однако монотонность неосущест-вима из-за мнимости по (9), дающей комплексные компоненты собственных векторов. Выполнить равенство при вещественных p0D и p0S/b невозможно. С помощью графа попробуем изменить собственные числа. Напомним, что суммы передач циклов длиной в m рёбер мультиорграфа с матрицей смежностей порядка n есть коэффициенты её характеристического полинома перед (n – m)–й степенью собственного числа [1].

Для оптимизации рынка, например, можно ввести управление величиной p0D в за-висимости от оперативно складывающейся цены pcom с помощью связи вершины p0D с вершиной pcom как с «причиной» для p0D (рис.4). Введение связи с неизвестной пока пе-редачей K создаст новый цикл. В исходном мультиорграфе по рис.2 (n=2) нет циклов дли-ной в одно ребро. Передача -a/b единственного цикла длиной в два ребра (m=2) равна ко-эффициенту характеристического уравнения перед степенью равной n – m = 2 – 2 = 0, то есть, свободному члену, равному произведению корней – это и даёт результат (9).



Рис.4. Граф рынка с управлением ценой p0D Рис.5. Цепь со свойствами рынка

В новом графе (рис.4) для расчёта произведения собственных чисел подсчитаем пе-редачи циклов длиной в три ребра, поскольку теперь n=3. Но их в графе нет, что означает 1 = 0. Циклы длиной в два ребра дают произведение корней:

2 * 3= K – a/b. (10)

Поскольку в рассматриваемом графе по рис.4 нет и циклов длиной в одно ребро, то соот-ношения (10) достаточно для определения оставшихся собственных чисел:

(11)

Видим, что надлежащим выбором величины K в (8) корни можно сделать вещест-венными – оптимизировать процесс торгов. Таким образом, рассматриваемый граф не только представляет структуру каузальных связей, но и эффективен при её оптимизации.

Экстремальный принцип минимизации стоимости компромиссов. Не останавливаясь на других полезных процедурах в рассматриваемом графе, набор которых комбинаторно растёт с ростом n, покажем, что в случае неотрицательности матрицы содержанием рассмотренных выше лагов экономики является пошаговое приближение к экстремуму некоторого функционала рынка. В рассмотренном выше примере описание состояний рынка в виде системы урав-нений (5) и (6) имеет неположительную матрицу. Действительно, её собственные числа 1-1,2 являются комплексными. Известно [7], что причиной неположительности матрицы уравнений состояния моделей сложных систем является различие физических размерно-стей используемых координат состояния (в нашем примере это pcom и qcom) – неоднород-ность избранного по каким-то причинам координатного базиса. Для многих реализуемых моделей может быть отыскан достаточный комплект однородных по физической размер-ности координат состояния, матрица системы уравнений для которых окажется более удобной – неотрицательно определённой. В этом случае для модели может быть сформу-лирован экстремальный принцип, следование которому и составляет суть динамических процессов. Если ограничиться одной координатой q, то такая ситуация возникает и для рынка. При этом сходство аналитических описаний рынка и некоторой электрической це-пи позволяет перейти к результатам, известным для цепей, и в частности к принципу ми-нимума потерь [8]. Применение этих результатов позволяет ввести инвариант системы.

Электрическая цепь, моделирующая рынок, представлена на рис.5, где в виде ус-ловных равенств (не удовлетворяющих требованиям физической размерности) указаны соответствия параметров цепи параметрам рынка. Взаимосоответствие рынка и цепи вы-ражается, в частности, в том, что если электрическая нагрузка EL0 и RL0 схемы рис.5 по-лучает максимум мощности P = uL*I = u*I (мощность P соответствует выручке R в модели рынка по рис.1), то при данном генераторе, состоящем из E0 и R0 (генератор моделирует спрос по (5)), увеличить извлекаемую из генератора мощность невозможно. Такую ситуа-цию изъятия предельной мощности (выручки) будем называть полным согласованием.

Пусть располагаем двумя не связанными друг с другом цепями по рис.5 (далее лю-бой параметр несвязного набора будем снабжать символом 0). Независимые уравнения состояний двух таких цепей запишем в виде системы с диагональными матрицами R0 и RL0 , пронумеровав соответственно их элементы, токи и источники:

(12)

( R0 + RL0 )I0 = E0 - EL0 (13)

Известно ([6,7] и др.), что при положительно определённой матрице ( R0 + RL0 ) (не обязательно диагональной в общем случае) компоненты I0 решения систем вида (12)-(13) являются координатами минимума функционала F, описывающего потери на резисторах цепи и имеющего вид:

(14)

При этом функционал (14) для несвязной системы не изменит своей величины для токов и источников , если описание несвязной системы (12)-(13) преобразовать в описание связной с помощью конгруэнции с произвольной матрицей Q:

(15)

(16)

где матрица R+RL будет уже недиагональной (в общем случае она может и не быть симметричной при несимметричной недиагональной исходной R0+RL0) . Функционал для более общей (например, связной) системы (16) далее будем записывать в таком виде:

(17)

где FR – суммарная стоимость компромиссных уступок сторон, FE – сумма внешних воздействий на систему в виде замыслов сторон или заказов рынка.

Таким образом, поскольку величины R0=a и RL0=b для модели по рис.5 отобража-ют способности участников к рыночным компромиссам, то используемая аналогия позво-ляет утверждать, что принципу минимума потерь в электрической цепи [8] соответствует принцип минимума общей стоимости компромиссов в линейной рыночной модели. В свою очередь, существование преобразования (15) конгруэнции, оставляющего общую стоимость компромиссов инвариантной, логично считать признаком существования мно-жества эквивалентных по величине общей стоимости компромиссов рыночных систем, построенных на основе «порождающего» для этого множества набора несвязных моделей типа представленной на рис.5. Условия существования такой несвязной системы, как и ряд следствий, вытекающих из всего сказанного, мы обсудим ниже. Здесь же обратим внимание лишь на радикальное оперативное отличие электрической модели от расчётной модели рынка – для модели рынка имеют смысл лишь положительные решения по q. Од-нако инвариант компромиссов, вокруг которого построены дальнейшие рассуждения, при положительно определённой матрице в положительном квадранте представлен всегда.

Экстремальное содержание топологических итераций. Свяжем итерационный расчёт по графу обсуждаемого вида со свойством системы минимизировать функционал (17) на примере электрической цепи.



Рис.6. Связная и несвязная модели рынка Рис.7. Граф для расчёта 1 и 2

Как сказано выше, принципиальным свойством систем типа (13) и (16) является однородный координатный базис. Таким же свойством обладает система уравнений для неизвестных потенциалов 1 и 2 узлов связной схемы по рис.6 из трёх проводимостей g1, g2, g12, составленная на основе первого закона Кирхгофа:

(18)

где g11=g1+g12, g22=g2+g12 – проводимости узлов, J1, J2 – токи источников.

Системы типа (18), построенные по методу узловых потенциалов (способные да-вать положительные решения для всех потенциалов как в связной, так и в несвязной це-пях; очевидно, току I=q рис.5 теперь соответствует потенциал , сопротивлениям – проводимости и т.д.), удобны тем, что содержат наглядный аналог технологической матрице Апосле деления строк на проводимости узлов – после нормализации системы. Обозначим компоненты обеих форм системы (18) для связной цепи следующим образом:

G = J , = JN (19)

где символ N обозначает нормализацию вектора источников.На рис.7 представлен мультиорграф, построенный по записи (18) и позволяющий выполнить топологически итерации для 1 и 2 в связной цепи:

(20a)

(20b)

Записав с помощью потенциалов для схемы по рис.6 функционал вида (14)

(21)

можем убедиться, что слагаемые (20) соответствуют градиентному поиску минимума F по (21). Действительно, положив 2 =0, найдём из условия значение потенциала 1 – получим первое слагаемое ряда (19a). Подставив его в F по (21) и вычислив таким же путём 2 , повторим операцию вычисления 1 – получим сумму первого и второго слагаемого в (20a). И т.д. То, что итерирование (2) тождественно градиентному поиску минимума функционала F известно и используется в численных методах [6,7], но по сказанному выше оно же описывает и каузальные взаимодействия участников экономики, реализующих её динамический процесс. Таким образом, прямым смыслом рациональных действий участников является движение к минимуму общей стоимости компромиссов. Причём конгруэнтное преобразование каждого из слагаемых ряда (2) не меняет их функционалов, то есть, не меняет стоимость компромиссов каждого лага динамики любой экономики из множества конгруэнтно подобных.

Ортогональная конгруэнция и геометрия инварианта компромиссов. . Как было сказано, в силу инвариантности функционала и его частей относительно конгруэнций произвольной связной системе может соответствовать несвязная «по-рождающая». В том случае, когда матрица Q конгруэнтного преобразования (15) оказывается ортогональной, то есть, комплект её столбцов образует ортонормированную систему и выполняется свойство Q-1 = QT , преобразование не только не меняет величин, составляющих функционал (17), но и оставляет неизменным спектр матриц состояния систем, который, как мы видели из спектральной формы (4) записи итераций, определяет динамику системы. Для выяснения связанных с этим деталей снова обратимся к цепному аналогу.

Предположим, что описания (18) и (19) связной цепи по рис.6 получены преобра-зованием описания некоторой несвязной (схема там же) с помощью ортогональной QT:

, QTG0QQT = QTJ0 . (21)

В этом случае собственными числами матрицы G = QTG0Q связной цепи окажутся проводимости g01 и g02, а её собственными векторами будут столбцы матрицы QT , что легко показать, применив свойство Q-1=QT ортогональной матрицы к определению собственных чисел и векторов V матрицы G: GV = V . Если проводимости узлов связной цепи окажутся одинаковыми и равными g=g11=g22, то собственными числами матрицы A, получившейся после нормализации, окажутся 1-g01/g и 1-g02/g. Собственными векторами матрицы A в этом случае останутся столбцы QT . Помимо описанной нормализации разбиение G= I-A матрицы узловых проводимостей на единичную I и «технологическую» A может быть осуществлено и любым другим путём.

В любом случае соответствие электрической цепи некоторой экономике с положи-тельно определённой матрицей систем (1) и (19) открывает возможности, предложенные в работе [2] в связи с принципом минимума электрических потерь. Опишем их сначала как возможности для интегрального представления свойств экономической системы, а затем рассмотрим открывающиеся пути полного согласования (см.выше) частей системы.

Интегральные свойства экономической модели наиболее наглядно могут быть представлены геометрией составляющих функционала (17) для двухотраслевой модели на основе узловых потенциалов (рис.6). Напомним, что потенциалам узлов такой модели соответствуют интенсивности q продаж, проводимостям – суммарные способности к ком-промиссам, а источникам тока – компоненты вектора рынка R в (1) или суммарные на-чальные требования участников (например, для модели рис.6 двух несвязанных рынков принято g01=a01+b01, g02=a02+b02, J01=p0D1- p0S1, J02=p0D2- p0S2 при обозначениях нулём и соответствующим номером параметров несвязанных рынков). Соответствие функционала типа (17) - (21) суммарной выручке при этом не меняется.

Квадратичной форме FR в составе функционала (17) при FR = const соответствует геометрическое место точек в виде эллипса, оси которого либо совпадают с осями координат (для несвязных систем), либо повёрнуты на угол (в случае связной системы). Если переход от несвязной системы к связной может быть описан преобразованием (21) с ортогональной матрицей QT , то форма эллипса FR= const после преобразования не изменится, так как такое преобразование в двумерном случае описывает простой поворот, выполняемый с помощью матрицы плоского вращения (Гивенса) [6] такого вида:

(22)

Форма исходного эллипса задана полуосями и (рис.8). При ортогональной конгруэнции матрица G= QTG0Q будет иметь собственные числа, равные g01 и g02, то есть, вещественные. Отметим, что практические системы всегда связны, но их матрица не всегда имеет вещественные собственные числа, что по сказанному выше позволяет поставить вопрос о присутствии у системы свойств, не присущих классическому рынку. Очевидно, для наших рассуждений интересен первый квадрант.



Рис.8. Линии равных мощностей



Рис.9. Происхождение линий равных мощностей

Билинейной форме в составе (17) при FE=const соответствует геометрическое место точек в виде прямой, касающейся эллипса FR=const в точке стационарного решения (точке минимума FR - 2FE ) в силу выполнения в ней баланса FR=FE (рис.9). В общем случае эта прямая отражает свойства рынка, воздействующего на экономику FR= const текущей разницей FR-FE . В районе точки баланса FR=FE поведение системы, как мы видели на примере простейшего рынка, определяется взаимоотношениями вектора R рынка и собственными векторами матрицы .

Величина вклада малого участка той или иной траектории динамического движе-ния системы к точке баланса определяется ориентацией этого участка по отношению к эл-липсу FR=const . Очевидно, если направление движения состояния системы совпадает с направлением касательной к FR=const , то вклад такого движения в суммарную выручку близок к нулю. И наоборот, ортогональное к эллипсу движение даст наибольшие следствия по выручке (суммарной стоимости компромиссов).

Вся описанная геометрическая картина является проекцией на плоскость (1,2) более сложной картины (рис.9) взаимопересечений в трёхмерном пространстве (1,2,F) эллиптического параболоида с наклонной плоскостью (напомним, что справедлива аналогия =q для положительных значений). Поскольку любое сечение эллиптического параболоида плоскостью даёт проекцию на плоскость (1,2 ) в виде геометрически подобных эллипсов разных размеров, а точка любого состояния системы обязательно принадлежит поверхности параболоида то эллипс и его параметры представляют собой удобную совокупность параметров изучаемой экономики, инвариантную относительно начальных условий, относительно внешних (рыночных) воздействий, а также относительно широкого класса преобразований структуры системы. Очевидно, если отраслей более двух, то все описания справедливы и для соответствующих гиперпространств и гиперповерхностей – эллипс FR=const становится гиперэллипсоидом с полуосями, определяемыми собственными числами матрицы I-A.

Из сказанного следует, что для любой конкретной экономики имеет смысл сфор-мировать такого порядка nxn положительно определённую матрицу I-A (например, рассмотрев возможности возвращения к порождающим её несвязным рынкам), который определён числом n её связей с внешней для неё экономикой, именовавшейся выше «рынком» и характеризуемой вектором R «источников» в электрическом аналоге. Устойчивость и степень оптимальности взаимодействия этой экономики с «рынком» (графически описываемого парой из эллипса равноценных компромиссов и касательной прямой рынка на диаграмме типа рис.8) могут быть охарактеризованы спектром матрицы, степенью удалённости экономики от несвязной (угол выше) и другими показателями, рассмотрение списка которых не входит в схему данного материала.Очевидно, плохо обусловленная матрица I-A говорит об угрозе резких изменений общих объёмов при перестройке рынка (диагноз – неравноценность соответствующих «порождающих» несвязных обменов), неположительность I-A свидетельствует об угрозе колебательной динамики и т.д.

Разделение экономики на части и согласование частей. На основе цепных аналогов легко схематизировать выделение внешней экономики по отношению к рассматриваемой. Обратимся к схеме рис.10а. Некоторая сложная экономика представлена левой частью схемы – «нагрузка». Несмотря на её сложность, взаимодействие её с другой частью модели – генераторной, моделирующей «рынок», определяется всего двумя контурными токами, входящими в зажимы A и B. То есть, двумерного построения типа представленного на рис.8 вполне достаточно для анализа потоков мощности через сечение A-B-C сопряжения частей цепи рис.10. Эквивалентно (не меняя потока мощности через сечение A-B-C) свести обе части – и левую, и правую к токам через A-B-C можно, например, с помощью метода Гаусса [10] (мощности отдельно левой и правой частей при таких преобразованиях могут меняться – преобразования метода Гаусса не являются конгруэнтными). Это позволит построить эллипс FR=const для пассивной части нагрузки, прямую FE=const , учитывающую источники обеих частей, и провести описанный выше анализ.



а) б)
Рис.10. Модель двух связанных экономик и её матрично-векторный вариант

Кратко рассмотрим возможности согласования частей сложной экономики на ос-нове изложенного выше по критериям, родственным применяемым при оптимизации по-токов мощности в цепях. Для цепи по рис.10 это формулируется как задача определения условий оптимальной передачи мощности через сечение A-B-C – например, как задача расчёта параметров нагрузки, отклонение от которых в любую сторону снижает поток мощности через A-B-C – задача полного согласования (см.выше). Введя двухкомпонент-ный вектор I контурных токов через A-B-C, можем построить матрично-векторное пред-ставление цепи по рис.10а (рис.10б). Левой части схемы рис.10 соответствует совокуп-ность EL-RL , а правой – E-R . При EL=0 передача оптимальна при RL=L – известное тривиальное условие. При EL не равном нулю задача усложняется, но изложенный выше подход позволяет рассмотреть весьма многочисленные и полезные свойства и пути оптимизации, которые мы перечислим в форме нескольких положений с краткими практичными мотивировками на основе описанного выше аппарата.

Положение1. Если в каждой из («порождающего» - см.выше) набора не связанных друг с другом K цепей (в частности, со скалярными током I0k и эдс E0k каждая, k=1, 2,…, K), разделённых на нагрузочную RLk и генераторную Rk части, получено оптимальное согласование между частями, то согласование не нарушится, если к диагональной матрице из RLk и к диагональной матрице из Rk применить одно и то же преобразование конгруэнции. Речь идёт о применении равенств (15)-(16) к набору несвязанных между собой цепей. Если каждая из них была полностью согласована, то превращение их в связную одним преобразованием не нарушит согласования.

Положение 2. Если матрица R размером nxn общего описания состояний цепи (например, всей цепи по рис.10) может быть представлена в виде суммы двух различных матриц R=R1+R2 , соответствующих двум различным фрагментам цепи, согласованным между собой только по k < n их несвязных («порождающих») эквивалентов, представленным в сечении их сопряжения, то при любом ортогональном преобразовании такое частичное согласование не нарушится, а в случае отсутствия в составе вектора E - EL источников тех векторов собственных форм, по которым общая цепь с матрицей R=R1+R2 не согласована, цепь окажется согласованной. Это положение следует из предыдущего и позволяет обратить внимание на то, что изменения вектора E - EL только тогда не нарушат согласования частей экономики, когда эти части согласованы по всем «порождающим» элементарным экономикам (несвязанным цепям).

Положение 3. Две части цепи с матрицами R1 и R2 , составляющими общую матрицу цепи R=R1+R2 и имеющими общий набор собственных векторов и произвольные во всех других отношениях, обязательно могут быть согласованы надлежащим выбором вектора E - EL разницы источников этих двух частей. Это следует из спектрального представления вектора E - EL типа применённого выше в соотношении (4).

Несмотря на внешний формализм, перечисленные Положения, как показал опыт, содержат достаточно практичные элементы, позволяющие раскрывать аспекты оптимиза-ции, не доступные при других, не спектральных подходах.

Выводы. Каузальный мультиорграф экономической системы, происхождение которой восходит к простейшему рынку, может быть описан с помощью спектральных, инвариантных по отношению к некоторым преобразованиям системы, показателей. Наличие этих показателей свидетельствует о возможности формулировки для таких систем экстре-мального принципа минимума суммарной стоимости компромиссов участников экономи-ки. Анализ результатов применения такого экстремального принципа и спектрального описания экономики открывает специфические свойства экономики, позволяющие её оп-тимизировать как по отношению к внешнему рынку, так и в отношении согласования ме-жду собой отдельных частей экономики.

Авторы: М.И. Грамм
Ф.Н. Шакирзянов

Литература
1. Цветкович Д., Дуб М., Захс Х. Спектры графов – теория и применение. Киев. Наукова думка, 1984.
2. Грамм М.И. Множество цепей с постоянной мгновенной мощностью и экстремальные принципы для электрических цепей/ Электричество, №4, 2003.
3. Мэнкью Н.Г. Принципы экономикс. СПб. Питер Ком, 1999
4. Хедли Дж. Линейная алгебра для экономистов. М.: Высшая школа, 1968.
5. Янг Д., Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1984.
6. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984.
7. Janckheere E. A. Lagrangian Theory of Large Scale Systems. Circuit Theory and Design. Proc. Eur. Conf. VI. Hague. 1981, №25-28.
8. Грамм М.И. О принципе минимума потерь/ Изв.вузов. Электромеханика, №10, 1989.
9. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных систем. – М : Наука, 1988.
10. Грамм М.И., Чечушков В.Г. Применение элементарных N-матриц для записи преобра-зований цепей/ Изв. вузов. Электромеханика, №8, 1991.


Аннотация:
Спектральные свойства электрофизических моделей сложных эконо-мик.
М.И. Грамм, Ф.Н. Шакирзянов
Предлагается использовать экстремальный принцип минимума элек-трических потерь для исследования динамики сложных экономик как пере-ходных процессов в соответствующих электрических цепях. Такой подход раскрывает важность спектральных свойств матриц межотраслевого баланса. Следующий из него анализ спектрального происхождения сложных эконо-мик позволяет на уровне спектрального расщепления согласовать две и более части этих экономик по любым заданным критериям.
Ключевые слова: модель экономики, матрица межотраслевого баланса, спектр собственных,
Annotation:
The Spectral Properties of the electric physical models of complete econom-ics
M. I. Gramm, F.N. Shakirzyanov
It is proposed to apply the specific Least Power Theorem for the analysis of transient processes of complete economics as well as transient processes in some modeling circuit. This approach makes considerable the spectral properties of the matrices of income-outcome balance. Followed analysis of spectral origin of com-plete economics causes to opportunities to concord two or more parts of complete economics on the most optimal level.
optimize the Power Flow directed from multidimensional generator to com-plete load by application of eigenforms and eigenvalues of steady state matrices of state equations. This approach gives the set of separated “primitive” circuits for a rotational group of power equivalent circuits. Any variant of optimization becomes simple at any other energy criteria. The combination of orthogonal rotational trans-formation with special N-matrices as a form of Gauss method provides the trans-parent methodology for complete multidimensional problem.

Key words: electrical circuits, equivalent transformations, power flow, op-timization of energy exchange, eigenvectors, eigenvalues.










(c) All rights reserved. Copyright 2003-2004.
Design: Sergey Zwezdin. Programming: Sergey Zwezdin, Alexey Volkov.