19.Формирование оптимальных расчетных моделей реальных элементов и сигналов
Расчёт реальной электрической цепи с удовлетворительной точностью предсказывает её состояния только тогда, когда используются математические модели элементов, достаточно точно отражающие их реальные свойства. В этой связи оптимальная обработка результатов измерений параметров элементов исключительно важна. В главе 1 рассмотрим удобные для компьютерной реализации формы такой обработки. Они отличаются от предлагаемых традиционными руководствами привлечением ортогональных преобразований, создающих основу для описания множества равноценных измерений. Такие преобразования входят и в спектрально-матричные методы, изучение которых является нашей главной задачей. Начнём с приёмов формирования линейной модели резистора.
Рис.1. Варианты условных обозначений резистора
Резистор (рис.1) – весьма универсальный элемент. В схеме цепи он представляет устройства, необратимо излучающие энергию. Это могут быть электролампы, электронагреватели, радиопередатчики, рассеивающие энергию в форме тепла или света. Резисторами представляют и элементы, рассеивающие энергию в виде механической работы, – двигатели, громкоговорители [1, 2].
Энергию, доставленную током i(t) при напряжении u(t) и уходящую через резистор в единицу времени t, характеризуют мощностью p(t)=i(t)*u(t) необратимых потерь или диссипаций. Резисторы цепи формирует её состояние таким образом, чтобы оно соответствовало минимуму общих диссипаций. Это принципиальное свойство заставляет нас отнестись к резистору как к важнейшему элементу, определяющему спектральные и экстремальные характеристики цепи, а также пути формирования её состояний. Именно этим обусловлено дальнейшее построение книги, первые главы которой посвящены анализу спектральных свойств резистивных цепей.
В спектральных расчётах мы пользуемся линейной моделью резистора:
U = R*I = I / G, (1.1)
где R= 1/G соответственно сопротивление и проводимость резистора.
Более точна нелинейная модель, учитывающая, например, зависимость сопротивления от температуры t°, задаваемой квадратом действующего тока I:
где
Подставив (1.2) в (1.1) получим нелинейную зависимость U(I):
где A1, A3 – параметры вольтамперной характеристики конкретного резистора.
Хотя нелинейная модель является более точным представлением резистора (как, впрочем, и индуктивностей, емкостей или источников), в тех случаях, когда нелинейности не задают сути работы цепи, стараются использовать компро-миссные линейные модели, что делает спектральный подход полезным.
Линейную модель элемента зачастую приходится формировать из набора данных, весьма значительно не соответствующих ей. Пусть, например, три (n=3) опыта над резистором дали такие строки с результатами измерений:
2*R = 6,
3*R = 13, (1.4)
4*R = 14.
Хотя в (1.4) строки Ii*R = Ui (i=1,…, n) описывают опыты над одним и тем же резистором, они дают различные R – уравнения несовместны.
Задачу расчёта R для компромиссной линейной модели часто рассматрива-ют как задачу проведения прямой U(I) на плоскости (U,I), арифметическая сумма квадратов отклонений которой от опытных точек (рис.2) минимальна. Решая её, запишем сумму S квадратов отклонений левых частей уравнений (1.4) от правых, обозначив токи и напряжения экспериментов I1, I2, I3 и U1, U2, U3:
Рис.2 Оптимальная прямая Рис.3. Оптимальный вектор R*I
Выражение для S продифференцируем по R и производную приравняем ну-лю. Полученное уравнение даст решение для величины R при минимуме S:
Все три формы записи в (1.7) системы (1.4) равноценны, позволяют обра-титься к декартовой системе координат (рис.3) и несовместность уравнений (1.4) истолковать как неколлинеарность векторов T и U. Неколлинеарность некоторого «правильного» вектора R*I вектору U правой части приводит к наличию ненуле-вого вектора U- R*I разницы. Полагая эту разницу направленной по перпендику-ляру к I (по направлению минимального расстояния между U и R*I), запишем условие взаимной ортогональности векторов U – R*I и I:
IT*( U – R*I)=0, (1.8)
где значок T означает транспонирование – вектор I превращаем в строку.
Из (1.8) получим оптимальное решение несовместной системы (1.4) [3]:
Запись (1.9) тождественна формуле (1.6), если её расписать покоординатно для n=3, но более универсальна. Вид (1.9) не зависит от длины векторов – от размерности n пространства по рис.3, то есть, от числа опытов в нашем примере. Обратим внимание на то, что в (1.9) (U,I) и (I,I) – скалярные произведения, то есть, просто числа, характеризующие то или иное взаимодействие векторов или функций на протяжённых отрезках. Такие числа называют функционалами.
Формула (1.9) нам важна для дальнейшего. Существенно то, что величина R в (1.9) суть длина проекции вектора U на направление, задаваемое вектором I. Например, пользуясь этим, мы можем «исправить» вектор правой части (1.4), сделав с помощью множителя R=3,69 Ома из (1.9) систему совместной:
В упражнении 1.1 ниже приведена короткая программа расчёта R с помо-щью (1.9) в пакете MathCAD. Отметим, что в пакете MathCAD, как и в большин-стве других программ для IBM PC, не требуется специальных значков матриц и векторов, что здесь и в дальнейшем будет приводить к соответствующим отличиям формул в тексте от формул в программах примеров.
Упражнение 1.1
Обратимся к векторному толкованию экспериментов на рис.3. Ненулевой угол между U и I в реальных условиях неизбежен и присущ любым комплектам данных. Его величина определена суммой квадратов отклонений, пропорцио-нальной некоторой общей «ошибке по мощности»
При
На практике, однако, значения угла не равны нулю и для одной измеритель-ной установки близки к какой-то характерной величине для сопротивлений R од-ного порядка. Это естественно, так как формула (1.6) суть отношение величины суммарной мощности P всех экспериментов к сумме квадратов токов. А «отпус-каемая» на эксперименты мощность конкретной установки – весьма стабильная величина для множества близких измерений. Несложно догадаться, что всё это множество при близких векторах U и I (а также близких величинах P и
Для описания простейшего из вращений, например, поворотов плоскости токов I1,I2 (она же и плоскость напряжений U1,U2), вокруг ортогональной к ней оси I3,U3 можно применить матрицу плоских вращений (матрицу Гивенса, [4]):
где
Варианты экспериментов описываются как преобразования системы (1.7):
Преобразующая матрица (1.12) Гивенса относится к ортогональным матри-цам. Любые два из её столбцов ортогональны друг другу (их скалярное произведение равно нулю). Евклидова длина каждого из столбцов (корень из скалярного произведения вектора самого на себя) равна единице. Это позволяет обращение любой ортогональной матрицы T заменять транспонированием: TT*T = 1, где 1 – единичная матрица (кстати, 1 является примером ортогональной матрицы).
Учтя свойство TT*T = 1, можем легко убедиться, что новые эксперименты, с новыми токами I1 и напряжениями U1, получаемыми при любых значениях угла
В упражнении 1.2 ниже создана возможность перебора всех эквивалентных в описанном выше смысле экспериментов с помощью вращения не только плос-кости [i]I1[/i],[i]I2[/i], но и плоскостей [i]I2[/i],[i]I3[/i] и [i]I1[/i],[i]I3[/i]. Для этого используются матрицы, влияющие и на другие, помимо заложенных в (1.12), строки (1.4). Например, на угол
Вполне очевидно из геометрического смысла умножений на ортогональ-ные матрицы как описаний поворотов, что произведение ортогональных матриц должно давать ортогональную матрицу (например, TT*T = 1 – поворот на 360 градусов или 1 (-1)= -1 – поворот на 180 градусов), что и иллюстрирует упраж-нение 1.2. Однако произведение нескольких матриц вращений описывает уже комбинированное, то есть, обычно более сложное, чем плоское, вращение.
Упражнение 1.2
Величина отношения суммарной "ошибки по мощности", к суммарной мощности трёх экспе-риментов остаётся постоянной при всех поворотах:
Варьируя углы
Итак, введённые выше ортогональные преобразования исходного описания состояний системы позволяют говорить о существовании некоторых параметров физических систем, остающихся инвариантными, неизменными при ортогональных преобразованиях уравнений их состояния [5]. В нашем примере физическую систему образует совокупность из резистора и измерительной установки, а данные опытов составляют описание состояний этой системы.
Поскольку алгебраическим ортогональным преобразованиям геометрически соответствуют повороты, то можем провести аналогию между ортогональ-ными преобразованиями и житейской тактикой «разглядывания» неизменного (инвариантного) физического объекта «с разных сторон». Например, стереоскопичность зрения человека построена на том, что наблюдаемый левым глазом объект «ортогонально преобразован» относительно наблюдаемого правым.
Всё это позволяет оценить ортогональные преобразования уравнений состояния систем как мощный метод исследования физических объектов вообще, а электрических цепей – ещё и как метод, обладающий исключительной наглядностью, в чём далее мы убедимся.
Здесь уместно использовать ещё одну показательную деталь. На рис.3 лишь ось I3,U3 обладает для нас «объективной ценностью», поскольку находится в плоскости чертежа и напрямую даёт величины I3,U3 как длины соответствующих отрезков. Остальные элементы аксонометрического чертежа – I2, U2, I3, U3 требуют для получения из рис.3 величин параметров состояния выполне-ния в той или иной форме (например, мысленной) преобразования поворота в состояние «объективной» или «наблюдаемой» ценности. Именно в таком, по су-ти, преобразовании и состоит смысл всякого вообще расчёта скалярных параметров состояния сложной системы - необходимо преобразовывать сложное для восприятия общее описание состояний в формы, поочерёдно демонстрирующие один за другим скалярные параметры состояния. Ясно, что при этом существенна и роль исходного вида системы. Она суть проекция на «плоскость наблюдения», например, на плоскость чертежа рис.3. Она существует потому лишь, что свойства наблюдателя по многомерному восприятию очень ограничены.
Расширим область применения описанной выше тактики оптимальной об-работки опытов, рассмотрев пример поиска двух параметров – напряжения холостого хода E и тока короткого замыкания Ik линейной модели U(I) = E –I•E/Ri независимых источников тока и источников напряжения, то есть, источников, не управляемых извне ни напряжениями, ни токами.
Реальные источники могут иметь самую разную физическую природу – электромеханическую, химическую и т.п., но неизменно их точные характеристик являются нелинейными (рис.4). Расчёт компромиссных линейных параметров в этом случае усложнён относительно рассмотренного выше не только необходимостью расчёта двух величин, но и дополнительной проблемой выбора между моделями источника тока или источника напряжения.
а) Источник напряжения б) Источник тока
Рис.5. Варианты обозначений источников в схемах
Применим для расчёта параметров линейной зависимости U(I) напряжения U на нагрузке от тока I тот же метод минимизации квадратичных отклонений.
Для линейной модели источника две искомые компромиссные величины – напряжение холостого хода E и ток короткого замыкания Ik (рис.4) используются в линеаризованном варианте характеристики U(I) в такой форме:
где Ri = E / Ik – внутреннее сопротивление линейной модели
Зависимость вида (1.16) способны реализовать два варианта модели источников с постоянными параметрами, схемы которых представлены на рис.5 – источник тока и источник напряжения. Они преобразуются один в другой, так как их характеристики U(I) идентичны. В любом случае, например, воспользовавшись опытной кривой U(I), представленной на рис.4, можем построить линейные описания вида (1.16):
E – Ri • 10 = 20,
E – Ri • 20 = 18, (1.17)
E – Ri • 30 = 17,
E – Ri • 40 = 10.
Любая пара уравнений из системы (1.17) даст разные параметры E и Ri – пары несовместны. Расчёт величин E и Ik=E / Ri сведём к оптимальному решению системы, введя для неё векторные и матричные обозначения:
Сходство (1.18) с системой (1.7) не только внешнее. Можно показать, [6], что, рассматривая матрицу M как «вектор» размером 4x2, нетрудно записать решение в близком к (1.9) виде, обеспечивающее минимум суммы квадратов от-клонений правой части (1.18) от левой. Для этого в формуле (1.9) заменим век-тор I на матрицу M и перейдём от деления на скалярное произведение к обра-щению произведения матриц. Получим оптимальное решение для x:
где матрицу M+=(MT•M)-1•MT называют псевдообратной по Муру-Пенроузу.
Псевдообращение прямоугольных матриц предложено Ф.Муром (в 1925 г.) и Р.Пенроузом (в 1955 г.) [6]. Название «псевдообращение» объясняется тем, что при умножении M+ слева на матрицу M получим единичную матрицу 1. Поэтому операция (MT•M)-1•MT в пакетах IBM PC представлена как «обобщённая инверсия» – geninv(M). Решение (1.19) не только оптимально в отношении квадратичного отклонения, но имеет и сходные с решением (1.9) свойства в отношении ортогональных преобразований. С помощью упражнения 1.3 можно проделать эксперименты с ортогональными преобразованиями T набора (1.18):
Эксперименты покажут, что если матрица M является квадратной, то вектор неизвестных x как решение (1.19) системы (1.20) не отличается от решения системы (1.18) при любой T (например, неортогональной). Однако, если матрица M прямоугольная, то вектор x как решение окажется равным решению системы (1.18) только тогда, когда матрица T ортогональна, то есть, осуществляется действительно эквивалентное по квадратичному отклонению вращение матрицы-вектора M (размером 4x2) в пространстве параметров!
Упражнение 1.3.
Данные новых экспериментов над источником и соответствующие им параметры источника:
А теперь обсудим соображения по выбору между источниками напряжения (рис.5а) и тока (рис.5б). Основу выбора составляет оценка поведения имеюще-гося реального источника в экстремальных режимах – на холостом ходу (сопротивление нагрузки RL->
Дело в том, что эти модели различаются по свойствам мощности, выде-ляющейся внутри источника. Источник тока имеет нулевой самонагрев (мощ-ность, выделяющуюся на Ri ) при коротком замыкании, а источник напряжения – на холостом ходу. При работе источника в режиме, близком к согласованию, то есть, с нагрузкой RL = Ri , различия между моделями невелики. Для иллюстрации сказанного проделаем упражнение 1.4.
Упражнение 1.4
Рассмотренные выше формы обработки измерений могут быть использова-ны и при расчёте комплексного сопротивления участка ветви. Такая задача возникает, например, при определении параметров реальной индуктивности. Рассмотрим для этого случая тактику обработки экспериментальных данных.
Схема для экспериментального определения параметров R и xL для опти-мальной величины Z = R + jxL полного комплексного сопротивления обычно содержит вольтметр, амперметр и ваттметр (рис.6). Расчёт полного сопротивления катушки проведём как решение системы уравнений со строками такого вида:
где Ii и Ui - действующие значения токов и напряжений, полученные в i-ом экс-перименте, Pi – активная мощность по показаниям ваттметра (отметим попутно, что ваттметр можно заменить обиходным электросчётчиком, учтя при расчёте Pi то, что счётчик интегрирует по времени активную мощность).
Мнимая часть строк (1.21) образована реактивной мощностью цепи, знак которой в случае произвольной цепи придётся устанавливать дополнительными экспериментами. В нашем примере знак перед корнем положительный.
Рис.6. Схема для опытного определения параметров реальной катушки
В упражнении 1.5 ниже представлена короткая программа расчёта ком-плексного сопротивления реальной индуктивности. Как и в обсуждавшихся выше примерах, количество экспериментов может быть любым. При наличии в катушке стального сердечника эксперименты проводятся в диапазоне рабочих токов, так как величины xL и R в таком случае зависят от действующего значения I тока. Результаты расчёта справедливы тогда лишь для избранного диапазона.
Обратим внимание на специфику скалярных произведений векторов x и y в случае, когда и x, и y содержат комплексные элементы (в упражнении 1.5 комплексные числа содержит только N). Чтобы длина вектора осталась вещественным скаляром, её квадрат определяют как
Упражнение 1.5
По результатам расчёта в упражнении 1.5 можем рассчитать величину ин-дуктивности L = xL /w , зная частоту w питающего напряжения и получив значение xL = wL,. Обратим внимание на то, что при наличии стального сер-дечника значение L может измениться при переходе на другую частоту питающего напряжения. Также в этом случае может измениться и величина сопротивления R, поскольку в R входят составляющие, отвечающие за общие тепловые потери. Они влияют на показания ваттметра.
Во многих устройствах нелинейность элементов играет принципиальную роль и формирование нелинейного описания их характеристик неминуемо. По набору опытных точек строят функцию с помощью разработанных в математике многочисленных методов приближённого интерполирования. В инженерной работе обычно их называют методами аналитической аппроксимации.
Как это часто бывает, обилие методов означает отсутствие безотказного универсального метода. Не углубляясь в обширный набор методов мате-матического интерполирования, ниже мы на примерах поясним самое важное для нас – разницу между группой простейших методов аппроксимации и группой со взаимоортогональными компонентами аппроксимирующей функции. Воспользуемся, как и ранее, приёмами проектирования векторов и псевдоинверсиями.
В первом примере, рассмотренном ниже в упражнении 1.6 оптимально аппроксимируем опытную характеристику источника по рис.4 с данными по (1.17) обычным полиномом степени J, меньшей числа опытных точек N+1=6:
Упражнение 1.6
Применение псевдообратной матрицы в упражнении 1.6 позволяет изба-виться от необходимости увязывать степень J полинома с числом N+1 опытных точек. Произвольно меняя величину J в упражнении 1.6, мы можем убедиться в том, что при её изменении меняются все коэффициенты a0, a1, a2,…, aJ . Это затрудняет последовательное совершенствование аппроксимации, например, путём наращивания степени J полинома тем, что необходимо каждый раз пересчитывать ранее найденные коэффициенты аппроксимации.
Такую ситуацию можно пояснить геометрически – как косоугольное пространственное взаиморасположение осей коэффициентов. Например, коэффициент a0 неизменен во всём рабочем диапазоне характеристики U(I) и, отложив его величину как ортогональные координаты по каждой из трёх осей некоторого условного трёхмерного пространства, получим направление оси коэффициентов a0. Для линейного слагаемого a1*i три равноотстоящих на оси токов i точки дадут направление оси a1 в этом же пространстве. Так же получим направление оси коэффициента a2 . Полученные направления в случае полинома (1.22) не будут ортогональны, что соответствует ненулевым проекциям коэффициентов по одной оси на направления других и отражает взаимозависимость коэффициентов слагаемых используемой аппроксимации.
Независимость слагаемых аппроксимирующей функции, следующая из ортогональности составляющих функцию слагаемых, в свете сказанного выше значительно выигрышнее во многих отношениях. В упражнении 1.7 ниже на основе несложных геометрических соображений постоянная, линейная и квадра-тичная части полинома упражнения 1.6 превращены во взаимоортогональные. Первый график упражнения 1.7 показывает ломаные огибающие соответствующих векторов, составляющих аппроксимирующий характеристику вектор. Наблюдая с помощью упражнения 1.7 за элементами вектора а как за коэффициентами полинома, легко убедиться, что в этом случае исключение или добавление любого из ортогональных векторов V0, V1 или V2 в составе матрицы M добавляет или исключает соответствующий коэффициент, никак не влияя на остальные. Это – результат ортогональности составляющих.
Упражнение 1.7
Выбор трёх взаимоортогональных нормированных векторов размером N+1:
Вместо выработки взаимоортогональных векторов на основе каких-то ча-стных умозрительных оценок, как это мы делали выше, можно воспользоваться весьма универсальной процедурой ортогонализации по Граму-Шмидту. Она проводится на основе хорошо знакомой нам формулы (1.9) для величины R проекции вектора U на направление вектора I:
Опишем эту процедуру применительно к упражнению 1.8 как продолже-нию упражнения 1.7 добавлением к прямоугольной матрице M ещё трёх ортонормированных столбцов V3, V4, V5. Зададимся тремя произвольными векторами W3, W4 и W5 одного размера (для упражнения 1.8 – из шести элементов). Из вектора W3 надо вычесть составляющие, направленные по уже полученным в упражнении 1.7 векторам V0, V1, V2, для чего воспользуемся формулой (1.23) с учётом того, что векторы V0, V1, V2 уже нормированы – |V0|=|V1|=|V2|=1:
V3=W3-(W3,V2)*V2-(W3,V1)*V1-(W3,V0)*V0. (1.24)
Полученный вектор V3 нормируем делением на его длину V3/|V3|. Следующий вектор V4 не должен содержать составляющих по векторам V0, V1, V2, V3:
V4=W4-(W4,V3)*V3-(W4,V2)*V2-(W4,V1)*V1-(W4,V0)*V0. (1.25)
Аналогичная операция с соответствующим добавлением слагаемого, учиты-вающего вектор V4, выполняется после нормировки вектора V4 для получения вектора V5, который также затем нормируется. В результате ортонормированный набор векторов V0-V5 позволяет построить ортогональную матрицу M. Контроль свойства MT=M-1 легко провести при выполнении упражнения 1.8.
Поскольку набор векторов W3, W4 и W5 может быть произвольным для начала процедуры Грама-Шмидта, то в упражнении 1.8 мы продолжили степенное задание элементов векторов, использованное для V0, V1, V2. Элементы вектора W3 следуют кубичному закону, W4 – четвёртой степени, W5 – пятой.
Упражнение 1.8
Взаимоортогональные векторы из аппроксимации вектора U в упражнении 1.7:
Процедура Грама-Шмидта - последовательное вычитание из очередного вектора составляющих, не ортогональных предыдущим векторам и его нормализация:
Отметим, что в нашем случае огибающие первых трёх векторов V0, V1, V2 относительно средней точки диапазона по току характеристики рис.4 следуют так называемым многочленам Лежандра соответственно нулевого, первого и второго порядков. Продолжить набор непрерывных взаимоорто-гональных функций Лежандра можно, использовав функциональный аналог процедуры Грама-Шмидта для ортогонализации многочленов дальнейших порядков ( см. [3]). В упражнении 1.8 это выполнено в дискретном варианте. Результат, как видим из графиков, тяготеет к периодическим огибающим, пространственная частота которых возрастает при росте степени полинома.
Полученная в упражнении 1.8 матрица M, являясь ортогональной, осуществляет, как мы уже знаем, поворот осей (шестимерного пространства в нашем примере). Вектор U характеристики проектируется теперь на оси полиномов Лежандра и характеристику источника по рис.4 теперь описывает вектор Am. Но повороты могут осуществляться непрерывным образом. Каждому из них, очевидно, могут соответствовать какие-то другие, помимо полученной в упражнении 1.8 матрицы M, ортогональные матрицы, порождённые другими наборами взаимоортогональных функций вместо использованных в упражнении 1.8 дискретных аналогов многочленов Лежандра.
Поскольку полагаемые в основу аппроксимации наборы взаимоортогональных функций могут быть весьма разнообразными, то приписывать всякий раз этим функциям свойство «объективного» существования в составе характеристики нет оснований. Они лишь являются удобными способами структуризации подчас весьма сложной экспериментальной кривой. В инженерных расчётах удобство структуризации на ортогональные составляющие связано главным образом с их энергетической независимостью, что в частности привело к колоссальному распространению в технике аппроксимаций сложных сигналов с помощью взаимоортогональных синусоид – к применению рядов Фурье.
Преобразование Фурье с позиций аналитической аппроксимации характе-ристик кратко рассмотрим в следующем параграфе. Более полно – как инженерный метод расчёта – рассмотрим в дальнейших главах.
Пусть в лабораторном эксперименте наблюдается (например, на экране осциллографа) несинусоидальное периодическое напряжение u(t) = u(t+T) (рис.7) с полупериодами одной формы, но несимметричное относительно оси t. По каким-то причинам нам удалось измерить только три (n = 3) равноотстоящие ординаты (кроме очевидных u(0)= u(T/2)= u(T)=0). Перечислим эти экспериментальные ординаты – «отсчёты» как компоненты вектора заданного напряжения UT = [ 2,3 4,7 9,1 ] в некотором трёхмерном пространстве.
Аппроксимируем компоненты U синусоидой u1(t) = Am1 sin(2pt/T) как первым приближением кривой u(t) = u(t+T) – «первой гармоникой» ряда Фурье, используя приём решения несовместной системы с одной неизвестной Am1:
Решение с помощью формулы (1.9) даст оптимальное значение Am1:
где множитель (n+1)/2=2 получен как квадрат длины вектора F1.
Как и ранее, вид формулы (1.27) не зависит от числа n имеющихся отсчётов функции, а использованные выше три отсчёта помогут наглядно убедиться в том, что Фурье-преобразование есть одна из разновидностей ортогональных преобразований, то есть, сложных поворотов осей пространства. Эта суть пре-образования не изменится и при более сложных формах кривой u(t).
В рассматриваемом примере целью аппроксимации с помощью ряда Фурье является представление u(t) = u(t+T) в виде суммы из K синусоид кратных частот w=2w /T, 2w, 3w,…, kw,…, Kw (k=1,2,…,K). Эти синусоиды удовлетворяет упомянутому выше требованию взаимоортогональности слагаемых аппрокси-мирующей функций. Соответствующие им оси, направления которых задаются столбцом F1 и следующими (см. F2 в формуле (1.28) ниже) ортогональны. В та-ком случае можем рассчитать оптимальные амплитуды Am2 второй и Am3 третьей гармоник, не меняя уже найденную Am1. Применим для такого расчёта аппарат псевдообращений прямоугольных матриц как метод решения соответствующей несовместной системы уравнений для неизвестных Am2 и Am3 :
Оптимальное решение системы (1.28):
где учтено, что произведение F2T*F2 можно заменить уже знакомым множителем (n+1)/2 как квадратом длины векторов (столбцов F2) из n компонент, следующих синусоидальному описанию с единичной амплитудой.
Показав в (1.27) и (1.29) применимость аппарата оптимальных решений несовместных систем, можем вектор F1 и прямоугольную матрицу F2 объеди-нить в квадратную матрицу F=[F1 F2]. Матрица F обратима (например, у неё нет нулевых столбца или строки) и осуществима цепочка преобразований:
где матрица
Известно, что минимизация квадратичного отклонения лежит и в основе формул для коэффициентов Фурье для непрерывных функций u(t) = u(t+T). Ре-зультаты ДПФ и вычислений по формулам Фурье в пределе (n) ->
На практике множитель
В стандартных пакетах для PC ДПФ обычно представлено в виде так на-зываемого «быстрого преобразования Фурье (БПФ – FFT, “fast Fourie trans-form”), требующего для вектора-оригинала равенства числа его компонент целой степени M числа 2: n=2M. При таком размере вектора значительно упро-щаются вычисления элементов матрицы FT. Результат такого преобразования A=FFT*U обычно даёт готовые амплитуды гармоник для вектора U отсчётов. Обратное преобразование U= IFFT*A («inverse FFT») восстанавливает вектор-оригинал U отсчётов. Напомним, что для простоты обсуждения выше мы избра-ли кривую, разложение которой ограничивается синусными составляющими ря-да Фурье. В стандартных программах матрица FFT содержит ещё постоянную и косинусную составляющие. Технически это выполняется введением комплекс-ной формы элементов матрицы FFT и требует суммирования гармоник в симметричной относительно нуля шкале их номеров – от –K до +K.
Упражнение 1.9
Подведём некоторые итоги, касающиеся ДПФ. Поскольку ДПФ является частным случаем ортогональных преобразований, которым неизменно соответствуют повороты осей пространства, то основные свойства исходного комплек-та отсчётов в результате поворота не должны измениться (напомним о параллели с «разглядыванием» неизменного объекта). Например, если исходные отсчёты образуют нечётную (чётную) функцию (в упражнении 1.9 кривая u(t) – нечётная функция, как и набор отсчётов), то и спектр амплитуд гармоник этих отсчётов A= FT•U будет нечётной (чётной) функцией. Если исходная функция периодическая, то и спектр будет периодическим с тем же периодом (что несложно проверить, расширяя матрицу F в записях выше).
Последнее свойство позволяет говорить о том, что для описания дискретной («решётчатой») функции из n отсчётов достаточно n амплитуд (это утверждение известно как «теорема Котельникова или «теорема отсчётов», [7]).
С энергетической точки зрения существенно постоянство длины вектора отсчётов |U|=|A| при выполнении ДПФ. Оно отражает уже знакомую нам по §2 неизменность величины мощности при ортогональных преобразованиях. Мощ-ность, поставляемая сигналом u(t), пропорциональна сумме квадратов отсчётов – квадрату длины |U|=|A|. Равенство мощности, подсчитанной по отсчётам, мощности, подсчитанной по спектру, называется равенством Парсеваля.
Упражнение 1.10 ниже позволяет реализовать ряд экспериментов по вы-явлению свойств ДПФ как метода аппроксимации непрерывных функций.
Рис.8. Периодическая функция для упражнения 1.10
Упражнение 1.10
Матрица синусоидального ДПФ:
Рассчитываем амплитуды синусоид:
Графики полученной функции u(t) построим для двух случаев – при воспроизведении функ-ции с шагом по t равным шагу отсчётов и при воспроизведении функции u(t) с более мелким шагом, позволяющим продемонстрировать поведение аппроксимации между отсчётами.
Упражнение 1.10 позволяет обратить внимание на особенности представ-ления произвольной непрерывной функции конечным рядом Фурье. В частности, последний график упражнения 1.10 демонстрирует свойство слагаемых вы-соких порядков вносить существенные отклонения аппроксимации от аппроксимируемой функции между заданными точками. Ряд из n гармоник точно воспроизводит только n отсчётов. Использование этого ряда для интерполяции значений функции между отсчётами недопустимо!
Детальнее практическое применение ДПФ для расчёта цепей и многомер-ных полей мы рассмотрим далее в главе о практическом использовании ДПФ – БПФ в технических расчётах.
В главе 1 обращено внимание на возможности обработки измерений пара-метров электротехнических элементов и сигналов с помощью псевдообращений прямоугольных матриц и специфических ортогональных преобразований. Псев-дообращения решают задачу оптимального формирования математической мо-дели в предельно компактной форме. Ортогональные преобразования оставляют определённые свойства этих моделей неизменными при плавных вариациях преобразований описаний их состояния. И те, и другие ведут к раскрытию неко-торых инвариантных маломерных параметров сложных систем, характеризую-щих собственные уникальные свойства этих систем.
Существованию раскрываемых на этом пути собственных свойств систем может быть придан статус объективно принадлежащих расчётным моделям (на-пример, коэффициентам перед ортогональными составляющими характеристик систем и сигналов) вследствие стабильности этих свойств относительно преоб-разований. Реализация расчётов, снижающих размерность описания состояний сложной модели до набора коэффициентов перед ортогональными составляю-щими, не только существенно упрощает исследование сложного объекта, но и создаёт основу для однозначной квалификации методов исследования по их производительности в отношении вскрытия действительно принципиальных ин-вариантов сложных систем, полезных своей стабильностью при расчётах.
1. Рассчитайте среднеарифметическое значение R по опытным данным (1.4) и сравните его с полученным по формулам (1.6) и (1.9) значениям. Каким должен быть набор данных, чтобы оптимальная в отношении суммы квадратов отклонений величина R оказалась равной среднеарифметической величине?
2. Рассмотрите ситуацию, когда вектор напряжения U на рис.3 окажется ортогональным к вектору тока I. Какое значение R даст в этом случае формула (1.9)? Почему?
3. Нелинейную характеристику источника по рис.4 можно аппроксимиро-вать набором из прямолинейных отрезков с координатами узлов (i1,u1), (i2,u2),…, (in,un),…, (iN,uN). Составьте для пакета MathCAD программу, позволяющую рассчитать оптимальные координаты узлов (in,un) такой аппроксимации ломаной линией с помощью аппарата псевдоинверсий матриц.
4. Возможно ли использование формулы (1.14) в том случае, когда все опытные данные являются комплексными числами (воспользуйтесь замечанием в §4 о комплексных элементах матриц и сведениями из [4])?
5. Какими свойствами должны обладать столбцы матрицы A для того, чтобы матрица ATA в (ATA)-1AT оказалась бы диагональной? Единичной?
6. Проследите за величиной определителя матрицы FTTFT в составе ДПФ. Что надо изменить в наборе отсчётов u
7. Возьмите в качестве функции u(t) для получения равноотстоящих отсчётов u
8. Как надо изменить график функции по рис.7 для того, чтобы в составе спектра ДПФ появились бы гармоники чётных номеров – 2, 4, 6,…?
9. Найдите форму обратного синусного ДПФ, с помощью которого можно было бы, располагая спектром Amk, восстанавливать набор отсчётов u
10. Осуществим ли такой набор Amk, который бы при обратном синусном ДПФ дал одну ненулевую величину отсчёта u
11. Какой вид имеет распределение u
12. Преобразуя с помощью FFT-программы компьютера поочерёдно век-тор постоянной составляющей, вектор первой гармоники и т.д. выясните форму используемой в нём матрицы FFT. Содержит ли она косинусные составляющие аппроксимации Фурье?
13. Пусть мы располагаем полным комплектом отсчётов u
14. Пусть мы располагаем всего двумя отсчётами u
15. Известна формула Фурье для Amk амплитуд синусных составляющих ряда Фурье ([1], [2] и др.):
Свяжите численное интегрирование по формуле Фурье методом прямоугольни-ков с формулой (1.27) ДПФ. Зависит ли величина Amk от числа N прямоугольников на интервале от 0 до T?