21.Оценки входных параметров сложных цепей на основе спектра матриц однородного базиса
Предложенные в [1] методы согласования сложных цепей на уровне спектрального расщепления матриц однородного базиса оптимизируют передачу суммарной мощности через сечение S (рис.1) сопряжения двух цепей – генератора с матрично-векторными параметрами EG – RG и нагрузки с параметрами EL–RL. Ниже показано, что в дополнение к этому общему решению спектральная основа позволяет также оценить диапазон скалярных величин входных сопротивлений и реально достижимых мощностей в сечении сопряжения для любой заданной нерасщеплённой схемы. В известной литературе, касающейся таких оценок ([2], [3] и др.), спектральные характеристики матриц не использовались. Основа для таких оценок описана далее в форме несложных теорем для линейных или линеаризованных цепей.
Рис.1. Пример связи сложных цепей Рис.2. Преобразование несвязной цепи в связную
Известно, что матрицы систем уравнений состояния цепей в однородном базисе практически всегда являются положительно определёнными [4]. Это означает, что они могут служить основой для квадратичного функционала F, равного мощности PR потерь [5]. Решение для конкретного состояния цепи в базисе контурных токов (рис.1) или в базисе узловых потенциалов (рис.2) всегда соответствует минимуму функционала и минимуму электрических потерь в цепи. Например, как для связной, так и для несвязной цепей по рис.2 потери могут быть записаны с помощью матрицы G проводимостей цепи и вектора
потенциалов в виде разницы двух скалярных произведений – мощности PR и удвоенной мощности PJ источников:
F=PR–2PJ=
TG-2ТJ. (1)
В частном случае, когда вектор токов J оказался одним из собственных векторов V(k) матрицы G (k = 1, 2, …n) при соответствующем её собственном числе
k., система G=J из n уравнений для потенциалов становится набором из n скалярных строк k=J=V(k). Такое состояние цепи в [6] было предложено, по примеру теоретической физики, называть базисным.
Теорема 1. Цепь может иметь столько базисных состояний, какова размерность описания её состояний в однородном базисе.
Утверждение следует из сказанного выше о положительной определённости матриц nxn систем уравнений в однородном базисе (то есть, положительности всех
k, являющихся проводимостями g0k=k несвязной цепи рис.2). Такие матрицы обладают полным набором из n собственных взаимоортогональных векторов и допускают построение функционала (1), свидетельствующего о реализуемости базисного состояния цепи.
Состояния, отличные от базисных, когда вектор J воздействия на цепь образован m>1 собственными векторами системы, как и в физике, целесообразно называть комбинационными. Комбинационные состояния, в свою очередь, физики структурируют на m – мерные (m<n) комбинационные и полные или общие, содержащие все n собственных векторов матрицы системы. Существуют примеры фактически интуитивно применяемых в расчётах электротехники базисных состояний (расчёты симметричных трёхфазных цепей со скалярными сопротивлениями для многопроводной шины, приведение параметров машин к осям p-q и т.п.).
Рис.3. Точки базисных состояний Рис.4. Параболоид виртуальных потерь и цилиндр
Любая связная цепь, для которой осуществимо описание состояния в однородном базисе, принадлежит к группе (то есть, к множеству, для объектов которого выполнимы преобразования «туда и обратно»). Описание состояния любой цепи группы суть то или иное ортогональное преобразование некоторого общего для группы описания исходной системы из независимых уравнений для несвязной «порождающей» цепи (рис.2). Столбцы V(k) ортогональной матрицы T (k = 1, 2, …n) перехода G = TG0TT от матрицы G0 несвязной цепи к матрице G связной оказываются собственными векторами G [7]. Матрицы T, таким образом, предопределяют как базисные состояния связных цепей группы, так и возможные комбинационные.
В частности, для цепи n=2 по рис.2 матрица T обязательно окажется матрицей плоского вращения и задаваемый ею тот или иной угол поворота определит направления полуосей эллипса
ТG = const состояний с одной и той же мощностью PR потерь. Учтя то, что полуоси такого эллипса всегда направлены по собственным векторам V(k) матрицы G, можем установить положения точек A1 и A2 двух возможных базисных состояний цепи n=2 (рис.3). Например, состояние А1 соответствует меньшему 1=min из двух собственных чисел (длины полуосей обратно пропорциональны квадратному корню из собственных чисел).
Плавно следуя по эллипсу PR=const, мы перебираем состояния цепи с одной и той же величиной выделяемой в цепи мощности, но с разными суммами квадратов потенциалов узлов, поскольку расстояние (
12+22)0,5 от точек до центра эллипса не остаётся при этом постоянным. Легко заметить, что упомянутой выше точке А1 соответствует наименьшее отношение PR/(12+22)0,5, а точке А2 – наибольшее. Эти минимаксные свойства известны в линейной алгебре и резюмированы на случай матриц любой размерности в теореме о так называемом отношении Релея [4]: величина отношения R()= ТG/Т=1 минимальна и равна наименьшему собственному числу 1=min тогда, когда вектор является собственным вектором матрицы при наименьшем собственном значении min матрицы G; величина R() максимальна и равна наибольшему n=max тогда, когда вектор является собственным вектором матрицы при наибольшем её собственном числе. Учтя это, легко преобразовать всё сказанное в следующее полезное утверждение для цепей.
Теорема 2. При питании цепи от источников тока, вектор которых создаёт на узлах цепи произвольный вектор |
|=const потенциалов неизменной длины, подаваемая источниками в цепь суммарная мощность P максимальна P=Pmax в базисном состоянии, соответствующем наибольшему собственному числу max матрицы проводимостей, и минимальна P=Pmin в базисном состоянии, соответствующем наименьшему собственному числу min. В любых других базисных или смешанных состояниях при том же значении ||=const величина P мощности находится в диапазоне между величинами Pmax >P >Pmin.
При обращении к порождающей несвязной цепи утверждаемое в теореме 2 легко доказывается аналитически. В самом деле, при n=2 (рис.2) и, например, при единичной сумме потенциалов несвязной цепи
012+ 022=1 справедливо выражение:
(2)
Первая и вторая производные Р по
01 соответственно равны:
(3)
Из (3) следует, что при
01=0 мощность экстремальна и этим экстремумом при g01>g02 является минимум – реализовано базисное состояние при наименьшем собственном числе g02. При g01<g02 и 01=0 экстремумом будет максимум мощности. Отметим, что в этих рассуждениях подразумевается обоснованная в [1] идентичность свойств мощности (функционала F) цепей одной группы.
Ещё более просто понять утверждаемое в теореме 2 при обращении к рис.4, изображающему в трёхмерном пространстве (
1,2, Р) взаимопересечение поверхности созданных в цепи потенциалов (цилиндр 012+ 022=1) с поверхностью эллиптического параболоида виртуальных потерь ТG набора резисторов цепи, сечением которого и является эллипс.
Пересечение кругового цилиндра
012+ 022=1=const с с эллиптическим параболоидом PR= ТG виртуальных потерь образует замкнутую траекторию (рис.4 и рис.3; точки A1’ и A2’ находятся на образующей цилиндра). Точка максимальной высоты Pmax этой траектории обязательно находится на меньшей полуоси, совпадающей с собственным вектором для наибольшего собственного числа. Соответственно, точка минимальной высоты Pmin находится на векторе наименьшего собственного числа. Из рис.4 ясно, что траектория пересечения цилиндра с параболоидом потерь не может иметь ординат более Pmax и менее Pmin. Мощностям внутри этого диапазона соответствуют либо базисные состояния при промежуточных между наибольшим и наименьшим собственными числами системы (при n>2) однородного базиса, либо комбинационные состояния цепи.
С описанными свойствами базисных состояний цепи непосредственно связано ещё одно весьма полезное положение. Сформулируем его.
Теорема 3. При питании цепи от источников тока, произвольный вектор которых имеет постоянную длину |J|=const, подаваемая в цепь источниками тока суммарная мощность P максимальна P=Pmax в базисном состоянии, соответствующем наименьшему собственному числу матрицы проводимостей, и минимальна P=Pmin в базисном состоянии, соответствующем наибольшему собственному числу. В любых других состояниях при этом же значении |J|=const величина мощности находится в диапазоне между этими величинами Pmax >P >Pmin.
Доказательство этого утверждения для n=2 аналогично выкладкам (2)-(3):
(4)
(5)
Вернёмся к траектории пересечения цилиндра
012+ 022=1 с эллиптическим параболоидом PR= ТGj виртуальных потерь (рис.4). В числе множества состояний цепи, которым соответствуют точки траектории при ||2=const, находятся и точки, когда ненулевым является только один из токов источников. Такой источник Js (1<=s<=n) создаёт на s – ом узле потенциал s, прямо пропорциональный входному сопротивлению Rвх sцепи со стороны данного узла sJsRвх s. При этом мощность Ps=s2/R вх s, вводимая в цепь через этот узел, равна суммарной мощности потерь и должна, по сказанному выше, находиться в диапазоне величин между P=Pmin и P=Pmax при 012+022=const. То есть, должно быть выполнено неравенство, пределы которого заданы базисными состояниями при 1=min и при n=max из чисел матрицы G:
(6)
Неравенству (6) соответствует следующее утверждение.
Теорема 4. Входная проводимость со стороны любого узла цепи с матрицей проводимостей G не может быть больше наибольшего собственного числа и меньше наименьшего собственного числа этой матрицы. Равенство входных проводимостей наименьшему или наибольшему собственному числу матрицы G достигается только тогда, когда матрица G является диагональной и соответствует несвязной цепи.
Для контурного базиса теорема 4, очевидно, определяет диапазон входных сопротивлений контуров, для набора которых записана матрица R контурных сопротивлений цепи.
Отметим, что утверждение о переходе неравенства (6) в равенство в теореме 4 основано на том, что матрица несвязной цепи имеет в качестве набора собственных векторов столбцы единичной матрицы. Последняя в этом случае формально и является матрицей Т. Питание несвязной цепи от единственного ненулевого источника суть то или иное её базисное состояние.
При оптимизации передачи мощности важную роль играют такие величины, как входные сопротивления цепи. Спектральный подход даёт величину суммы входных сопротивлений цепи со стороны её узлов. Найдём её, ограничившись для простоты фрагментом n=2 цепи по рис.2. Применим произвольную ортогональную матрицу T со столбцами V1 и V2 для преобразования диагональной матрицы G0 проводимостей:несвязного фрагмента n=2:
(7)
Преобразование (7) даст матрицу G проводимостей связной цепи. Наличие собственных векторов V1 и V2 позволяет построить проекторы P1= V1·V1T и P2= V2·V2T и с их помощью записать обращение матрицы G в спектральной форме:
(8)
Матрицу G-1 в форме (8) удобно использовать для расчётов входных сопротивлений цепи. Очевидно, величина входного сопротивления Rвх1 или Rвх2 со стороны конкретного узла равна потенциалу узла при подаче на него единичного тока в отсутствие других источников. С помощью (8) умножим соответствующие векторы источников J1T=[1 0] и J2T=[0 1] на G-1 и просуммируем затем полученные величины входных сопротивлений:
= Rвх1+Rвх2 (9)
Поскольку при получении (9) мы не оговаривали свойств V1 и V2 помимо их взаимоортогональности, то (9) доказывает инвариантность суммы входных сопротивлений при ортогональных преобразованиях и справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. Сумма входных сопротивлений цепи со стороны её узлов инвариантна относительно ортогональных преобразований матрицы проводимостей и равна сумме обратных величин проводимостей порождающих цепей – сумме обратных величин собственных чисел матрицы проводимостей. Аналогичное утверждение справедливо для суммы входных проводимостей контуров относительно контурных эдс при ортогональных преобразованиях матрицы контурных сопротивлений.
Отметим, что для несвязной цепи равенство суммы проводимостей резисторов сумме обратных величин входных сопротивлений цепи очевидно. С другой стороны, эта сумма проводимостей равна следу диагональной матрицы несвязной цепи, который, как известно ([1] и др.), инвариантен относительно ортогональных преобразований. Отметим также, что теорема 5, кроме задач согласования, может оказаться полезной и при экспериментальном определении собственных чисел произвольной цепи.
На практике абстрактная возможность для цепи с n узлами или n контурами находиться в том или ином базисном состоянии означает питание от n – мерного источника. Последнее в случае сложной цепи представляется весьма экзотическим случаем. Однако все приведённые выше утверждения при наличии в цепи M источников приM<n, можно отнести к многополюснику, эквивалентному по M входам заданной n–мерной цепи и полученному преобразованиями цепи к M зажимам источников. Матрицы GA или RA размером M?M, описывающие в этом случае узловые проводимости или контурные сопротивления такого многополюсника, назовём актуальными или эквивалентными матрицами цепи. Хотя для эквивалентного приведения уравнений состояния к размерности M<n можно пользоваться любым методом, проще всего это выполнить шагами прямого хода метода Гаусса, выполняя их как умножения на элементарные N-матрицы [1].
В Приложении ниже рассмотрен численный пример в среде MathCAD для цепной модели оператора Лапласа (рис.2 при числе узлов n=6) и при исходной нумерации узлов слева направо с нулевыми краевыми условиями и одинаковыми проводимостями ga=g12 и gb=g1=g2, позволяющими для матрицы T связывания цепи использовать синусоиды. Питание модели осуществляется лишь от двух источников
1 и 2, подсоединённых к узлам 2 и 3 исходной нумерации. При эквивалентном преобразовании матриц цепи с помощью шагов прямого хода метода Гаусса последовательно устраняются узлы или контуры в порядке возрастания номеров, [1]. Поэтому для приведения цепи к эквивалентной двухузловой относительно узлов 2 и 3 подсоединения двух источников 1 и 2 этим узлам необходимо присвоить новые номера – последний и предпоследний (5 вместо 2, 6 вместо 3). В примере Приложения такая смена номеров узлов выполнена с помощью ортогональных (то есть, не влияющих на спектр и мощность) матриц перестановок. Чтобы осуществить вариацию вектора из двух источников около базисных состояний в примере используется матрица 2?2произвольного плоского вращения (матрица Гивенса). Пример позволяет проверить все изложенные выше положения. Отметим также, что пример позволяет задать параметры ga и gb как комплексные числа, что соответствует дискретной модели длинной линии и реализации ситуации по рис.1.
Приложение.
Проверка свойства суммы входных сопротивлений со стороны узлов при n=6:
прямой расчёт суммы входных сопротивлений
С помощью матриц Р1 и Р2 перестановок меняем номера узлов 2 на 5, 3 на 6:
Четырьмя шагами прямого хода метода Гаусса (NN - матрицы N-типа) преобразуем матрицу G1 к матрице G2 двухузловой цепи с узлами 5 и 6:
Матрица двухузловой цепи, вектор L её собственных чисел и сумма их обращений:
Проверка формулы (9) для суммы входных сопротивлений двухузловой цепи:
Подаваемые в двухузловую цепь мощности экстремальны только в базисных состояниях, то есть, при совпадении вектора источников с одним из собственных векторов матрицы G2 проводимостей цепи :
