22. Применение теории систем к межотраслевому балансу и организация графа экономики
Рассмотрим применение матрично-векторной формы записи в несколько более сложной экономической задаче. Она позволит затем перейти к объяснению одной из форм графического представления структуры экономического сообщества – к мультиорграфу причинно-следственных (говорят ещё «каузальных») связей между участниками экономики. Начнём с простого, но вполне корректного житейского примера.
Пусть в некоей относительно изолированной таёжной деревне четыре семьи специализируются каждая на каком-то одном виде производства – первая семья выращивает исключительно лишь ячмень в объёме Я, вторая производит сахар в объёме С, третья варит пиво в объёме П, четвёртая получает дрожжи в объёме Д за одинаковый промежуток времени, например, за год.
Семьи нашей деревни не только обмениваются друг с другом плодами своего труда в течение года, поддерживая друг друга в производственной деятельности, но и каждая вывозит плоды своего труда на рынок (в город, в соседние сёла и т.п.) в известных объёмах, которые «заказывает» рынок и которые мы пометим символом p: Яр=6000, Ср=230, Пр=1800, Др=28. При необходимости мы можем узнать из рецептов-технологий конкретно те объёмы продуктов, которые идут на производство того или иного продукта в каждой из семей.
Например, для производства литра пива требуется 0,4 килограмма ячменя, 0,1 килограмма сахара, 0,1 литра пива, 0,04 килограмма дрожжей. Если всё в деревне устоялось и каждая из семей ежегодно производит ровно столько продукта, сколько надо для поддержания всего производства и для вывоза на рынок, то говорят, что в деревне имеет место баланс.
При каких величинах П, Я, С и Д установится этот баланс? Нетрудно видеть, что, например, для величины П объёма производимого пива, следуя названному выше рецепту, можем записать линейное уравнение:
Хотя входящие в него величины П, Я, С и Д неизвестны, есть возможность их рассчитать из системы уравнений, поскольку аналогичные (2.1) линейные уравнения можно построить и для объёмов остальных производимых в деревне продуктов – на основании технологических рецептов для продуктов.
Узнав все технологические тонкости и рецепты для производства остальных продуктов, запишем полученные сведения в форме системы уравнений, каждое из которых есть просто сумма требуемых продуктов и соответствующего спроса на рынке, аналогичная (2.1). Включим в систему и само уравнение (2.1):
Система (2.2) относительно П, Я, С и Д решается точно, так как число уравнений равно числу неизвестных, а «рыночные» правые части Яр, Ср, Пр, Др известны. Очевидно, для нахождения неизвестных можем использовать всё то, что мы выше использовали при решении системы второго порядка. Сначала перепишем (2.2) в более традиционную форму записи СЛАУ:
Введём такие векторные и матричные обозначения для (2.3):
Отметим, что матрицу 1 принято в ЛА называть единичной. Она играет ту же роль, что и обычная (как говорят, скалярная) единица – при умножении на неё вектор или матрица не меняются. Применив обозначения (2.4) и (2.5), получим компактную и традиционную для ЛА форму записи СЛАУ (2.3):
Обратив матрицу-множитель (1- A) перед вектором неизвестных, как и в примере предыдущего параграфа, мы сможем получить искомый вектор неизвестных, состоящий из величин П, Я, С и Д объёмов продуктов, необходимых для баланса:
Выполнив (2.7) в числах, запишем результат для удобства в форме транспонированного, то есть превращённого в строку, вектора неизвестных:
Обратим внимание на операцию вычитания матриц в скобках, использованную для записи левой части (2.6) и (2.7). Очевидно, что складывать и вычитать можно лишь матрицы одинаковых размеров, поскольку этим действиям соответствуют поэлементное их исполнение для каждого из элементов матриц.
С помощью рассмотренного примера организации производства в деревне мы познакомились с основной идеей нашего отечественного экономиста лауреата Нобелевской премии В.В. Леонтьева (1906 – 1999), направленной на организацию математической записи баланса многоотраслевой экономики. Очевидно, рассмотренный вариант баланса следует отнести к линейным моделям, то есть, моделям, достоинства простоты которых превосходят достоинства их точности по отношению к реальным экономическим событиям.
В частности, удобство использованной выше матрично-векторной формы состоит в том, что она не меняется при произвольном увеличении числа производств. Это означает, что точно так же мы можем получать и математическое описание достаточно сложной многоотраслевой экономики, перейдя к макроэкономическим моделям. Каждая отрасль в государстве, как семья в примере, производит чётко определённый список продуктов.
При рассмотрении сложной экономики матрица А, как мы видели, содержит числовые характеристики, относящиеся к рецептам реального производства и поэтому её принято называть технологической матрицей данной экономики. В рассуждениях выше элементы этой матрицы мы получали как физические величины, характеризующие реальный расход того или иного продукта на единицу данного продукта (например, 0,4 килограмма ячменя на литр пива и т.п.). Такую форму матрицы А, состоящую из элементов физической реальной размерности, принято называть физической формой.
Для той же самой экономики и технологии матрица A может быть записана и в другой, стоимостной форме, когда размерности строк будут размерностями стоимостей – деньгами и т.п. В этом случае элементами A являются множители, характеризующие ту долю стоимости всего произведённого некоторого постороннего данной отрасли продукта, которая пошла на производство продукта данной отрасли, строку которого мы в данный момент заполняем в матрице (например, на место числа 0,4 килограмма ячменя на литр пива в строке для пива мы запишем 0,23 в случае, когда 23% всей стоимости произведённого ячменя пошло на производство пива).
Очевидно, что при использовании стоимостной формы матрицы A вся задача направлена на определение необходимых объёмов производства в их стоимостном выражении. Вектор правой части, описывающий рынок, в таком случае также должен состоять из элементов в стоимостном (ценностном) выражении и решения для неизвестных будут стоимостями объёмов произведённых продуктов. Суть всего баланса в целом не меняется.
Простой линейный формализм, использованный выше, как показал В.В. Леонтьев, может быть применён и к расчёту целесообразных цен продуктов, производимых многоотраслевой экономикой. Рассмотрим схему расчёта.
Снова обратимся в качестве примера к ситуации в описанной выше деревне. Поскольку речь идёт и о вывозе тружениками деревни своих товаров на рынок, то естественным образом возникает проблема оптимального определения цены каждого из производимых ими продуктов. Логично далее эту цену применять и при расчётах между семьями внутри деревни. В таком случае установившемуся в деревне балансу будут соответствовать не только чётко определённые объёмы производств, но и разумные балансные цены. Рассчитаем их.
Пусть искомая целесообразная цена килограмма ячменя должна составить рЯ, килограмма сахара – рС, литра пива – рП, килограмма дрожжей – рД. В состав каждой из этих неизвестных цен неизбежно надо включить некоторую прибавочную величину гЯ, гС, гП, гД, характеризующую превышение окончательной рыночной цены данного продукта над суммарной стоимостью всех использованных продуктов – в противном случае производство лишено экономического смысла. Какой именно будет эта величина для каждого из производимых продуктов, определяет его производитель, закладывая в эту величину личные стимулы, шансы на развитие производства в будущем и т.д. Записав для каждого продукта разницу между окончательной ценой и стоимостью затраченных компонентов, снова получим систему линейных уравнений, но уже для неизвестных цен:
При составлении уравнений (2.8) мы снова применили матрицу А в товарной форме, так как речь идёт о той же самой технологии производства продуктов и о том же составе их компонент. Использовав ранее введённые матрицы 1 и А, добавив к ним обозначения
можем записать систему (2.80 в матрично-векторной форме:
Система (2.10) может быть решена относительно неизвестных цен:
Видим, что простое задание прибавочной величины для каждой из цен производимых продуктов позволяет использованием той же технологической матрицы А вычислить целесообразные величины всех цен. Отметим, что экономической сутью каждой из прибавочных величин гЯ, гС, гП, гД может быть сумма из желаемой прибыли и действительных трудовых и других затрат, не вошедших в стоимость использованных компонент.
Очевидна из данного и предыдущего параграфов огромная роль технологии экономики, представленной в форме матрицы А. Технология влияет не только на величины оптимальных объёмов производства, но и на уровень целесообразных цен. Более того, рассматривая структуру экономики, определяемую матрицей А, мы увидим, что через эту структуру матрица задаёт не только статическое спокойное равновесие экономики, но и определяет её динамический режим, влияя на реализуемость внешне легко вычисляемых параметров баланса.
Казалось бы, просто выполняемые операции (2.7) и (2.11), главной трудностью которых представляется лишь обращение матриц подчас большого размера, легко дадут требуемые цифры благополучного баланса. Однако, уже на уровне математического моделирования процесса движения экономики к балансовому равновесию можно показать с помощью каузальной структуры, что далеко не любая экономика способна достичь стабильного состояния баланса. Очень серьёзная информация об этом заложена в матрицу А. Однако до поры до времени многие свойства А могут никак себя не проявлять. Именно способностью предсказать скрытые неприятности и знамениты графовые представления экономических систем, принципиально превосходящие здесь лучшие из способов экстраполяции уже известных событий.
По способу построения матрицы А видим, что она описывает связи между отраслями сложной экономики, реализуемые в форме обмена между отраслями. Можем принять величины элементов ai,j матрицы А в качестве "передач" по путям между i – й и j – й вершинами некоторой структуры. Вершины являются носителями численных значений величин П, Я, С и Д объёмов производства – это «характеристики вершин». Комплект связей между вершинами рассматриваемой структуры позволяет очень наглядно представить кар¬тину причинно-следственных (каузальных) взаимозависимостей. Такие построения называют графами, орграфами (ориентированными графами) или мультиорграфами изучаемых систем. Обычно графу предшествует аналитическое описание в форме матрицы систем уравнений, связывающих все параметры состояния изучаемой структуры.
Мы построим каузальный мультиорграф по результатам обсуждения баланса в примере деревенского производства выше. Приставка «мульти» объясняется наличием встречных ветвей между вершинами, а «орграф» - из-за наличия строгих направлений, ориентации ветвей. Мультиорграф будем строить следующим образом.
Наносим сначала точки-вершины, соответствующие каждая конкретной отрасли-семье. У нас их четыре. Условно считаем характеристикой вершины численное значение объёма производства данной отрасли. Между вершинами чертим ветви, которым присваиваем значения «передач» ai,j ветвей, взяв соответствующие числа из рецепта-технологии или же просто как элементы матрицы А системы уравнений (2.2). Ветви не вводится, если соответствующая передача (элемент ai,j ) равна нулю.
На рисунках ниже пояснён ход построения графов по отдельным уравнениям межотраслевого баланса. Логика их организации предельно проста и они действительно отражают производственные необходимости экономики.
Суммарную структуру взаимосвязей описываемой нами экономики мы получим, сложив формально все перечисленные выше связи, обусловленные технологией рассматриваемой экономики и отражённые в матрице А.
Очевидно, самым простым может оказаться мультиорграф рынка одного товара. Это действительно так и пример такого мультиорграфа даёт возможность сразу объяснить возможности оценки динамических режимов по графу. Воспользуемся этим.
Ход торгов на простейшем рынке одного товара (динамику рынка) иллюстрирует рис.2.4 – это хорошо известная и ставшая классической «паутинная модель» рыночных действий. Как мы уже говорили, торги возникают из-за принципиальных отличий первоначальных намерений покупателя, формирующего спрос
от намерений поставщика
где коэффициенты a и b считаем положительными и в данном параграфе используем как величины передач рёбер мультиорграфа.
Достаточно очевидно из рис.2.4, что процессу движения сторон рынка к компромиссу соответствует решение системы уравнений (2.12)-(2.13) относительно неизвестных координат pcom, Qcom точки компромисса методом последовательных приближений. Запишем систему (2.12)-(2.13) в матрично – векторной форме:
Подготовим систему (2.14) к реализации её решения относительно величин pcom, Qcom простейшим методом последовательных приближений. Для этого поделим каждую строку на элемент главной диагонали и введём матрицу A переходов от k-го к k+1-ому последовательным приближениям:
Итерационный расчёт вектора x неизвестных pcom, Qcom запишем в таком виде:
Положив начальное приближение вектора x неизвестных равным нулю x(0)=0, получим:
Таким образом, вектор неизвестных может быть получен как сумма геометрической прогрессии с матричным знаменателем A:
Ряд (2.18) интересен несколькими свойствами. Во-первых, рассмотрев слагаемые (2.17) для каждого из неизвестных, можем убедиться, что выражение (2.17) действительно описывает «паутинную модель» развития событий на рынке при определённой тактике начала торгов (известно, что торги в этой модели могут быть начаты, по крайней мере, двумя способами). Во-вторых, оказывается, что каждое из неизвестных может быть вычислено методом последовательных маршрутов в специфическом графе, для которого матрица А есть так называемая матрица смежностей (иногда говорят – смежности).
Самым полезным свойством такого графа оказывается то, что элементы матриц Аk степеней матрицы А по нему вычисляются как передачи маршрутов длиной в k. Благодаря этому неизвестные pcom, Qcom можно вычислять прямо по графу.
Например, воспользовавшись мультиорграфом рис.2.5 простейшего рынка, первое приближение для pcom из него получим как pcom(1)=p0D (от неизвестного pcom до известного p0D маршрут длиной в единицу), второе приближение добавит маршрут длиной в 2 и получим pcom(2)=p0D+a·p0S/b, третье приближение по графу pcom(3)=p0D+a·p0S/b-a·p0D/b и т.д.
Хорошо известно, что наличие точки пересечения прямых pD(Q) и pS(Q) (то есть, существование точного решения (1-А)-1·р0 системы (2.12) – (2.13) или гораздо более обширной системы межотраслевого баланса, спланированного, например, в статически безупречных бумажных «народно-хозяйственных планах») вовсе не означает, что динамика экономики обязательно к ней придёт. Процесс (2.17)-(2.18) может попросту оказаться расходящимся.
Принципиальной в определении судьбы динамического процесса экономики и, в частности, торгов на рынке оказывается роль передач циклов обсуждаемого мультиорграфа.
Дело в том, что пользуясь графом рис.2.5 интуитивно можем представить, что при росте степеней матрицы А всё большую роль в сумме слагаемых будут приобретать передачи по циклам графа – ведь длины маршрутов должны равномерно нарастать! Если передачи по циклам (в нашем примере единственный цикл с передачей –a/b) будут возрастать, то ряд (2.17)-(2.18) не сойдётся. Математически это несложно объясняется с помощью понятий собственных чисел
Собственным вектором V(i) матрицы А называется такой вектор, для которого весьма сложную операцию его умножения на матрицу можно заменить простым умножением вектора на скалярное число
У наиболее распространённых в экономических расчётах квадратных матриц размером nxn так называемой простой структуры весь набор собственных чисел (говорят «спектр матрицы») состоит из n различающихся чисел, каждое из которых должно обращать в нуль определитель системы (2.19) для неизвестных
с помощью которого собственные числа матриц и рассчитываются.
Для определения собственных чисел для простейшего рынка составим характеристический полином его матрицы А:
Видим, что у матрицы рынка два мнимых различающихся собственных числа
где k1 и k2 некоторые коэффициенты, вычисляемые при заданном p0 (отметим, что векторы k1·V(1) и k2·V(2) также являются собственными для А, поскольку удовлетворяют условию (2.19)).
Из (2.19) нетрудно выяснить, что собственными векторами степеней Аk матрицы А являются те же векторы k1·V(1) и k2·V(2). В таком случае, учитывая возможность заменять умножение матрицы на её собственный вектор умножением этого вектора на её соответствующее собственное число (например, A·V(1)=
Таким образом, ясно, что сходимость (2.18) определяется конечностью сумм геометрических прогрессий в скобках, то есть, модулями собственных чисел матрицы А. Если хотя бы один из модулей этих собственных чисел превысит единицу, то компромисс не будет найден. Ни ряд (2.18), ни ряд (2.23) не сойдутся – суммы прогрессий из собственных чисел окажутся бесконечными. В нашем случае
Оказывается, что такое принципиальное для экономического моделирования свойство собственных чисел матрицы А как матрицы смежности мультиорграфа структуры изучаемой экономической системы легко прослеживается непосредственно по мультиорграфу.
Обратившись к полиному (2.21), видим, что его свободный член есть передача по циклу рис.2.5. Но по теореме Виета свободный член равен произведению корней. Отсюда следует, что сходимость торгов на простейшем рынке определена параметрами цикла его мультиорграфа – если передача цикла превысит по величине единицу, то торги не приведут к компромиссу. В общем случае более сложных мультиорграфов параметры сходимости рядов типа (2.18)-(2.23) к решению также определены передачами циклов мультиорграфа, но рассчитываются они несколько более сложным, хотя и весьма наглядным способом.
Снова обратимся к рис.2.5. Оценив свойства характеристик каждой из вершин, нетрудно придти к выводу, что направления рёбер графа указывают на вершину-причину для вершины, откуда ребро исходит. Например, параметр pcom зависит как от причины от параметра Qcom. Однако, и сам параметр Qcom зависит от pcom, на что указывает встречная стрелка от Qcom. А вот например, параметры p0D и –p0S/b как характеристики соответствующих им вершин не зависят ни от одной из других вершин, являясь в то же время причинами как для pcom, так и для Qcom. Рёбра графа лишь входят в вершины p0D и –p0S/b. Такие вершины принято называть «поглощающими». Из сказанного ясно, что представленная топологическая структура рис.2.5 действительно описывает причинно-следственные связи участников системы, что и объясняет название графа. Приставка «мультиор-» означает наличие встречно направленных рёбер между парами вершин графа.