24. Введение. О природе анализа цепи и его действительных целях.
ВВЕДЕНИЕ
О ПРИРОДЕ АНАЛИЗА ЦЕПИ и ЕГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЯХ
М.И. ГРАММ
Представленные на данном сайте новые для инженерной электротехники методы и новые формы записи традиционных методов решения задачи анализа цепи призваны с более конструктивных позиций, чем поддерживаемые традиционными руководствами, осветить проблему необходимости «решать» систему уравнений состояния электрических цепей и других дискретных устройств. Уточнение сути этой проблемы в итоге позволяет привлечь в инженерную практику мощные методы современной математики, поскольку вводит в электротехнические расчёты спектральные концепции.
Преодоление инженером математических трудностей на пути спектрального подхода, развиваемого дедуктивной электротехникой, стало возможным благодаря внедрению компьютера с мощным математическим программным обеспечением. Традиционные руководства далеки от описания спектральных методов и могут не испытывать методологической нужды в обновлении, поскольку для стандартной электроэнергетической практики состоялся стандартный набор задач, решаемый рутинными методиками, использующими компьютер для механизации стандартных вычислений.
Для предлагаемого обновления представляется необходимым сначала вернуться к причинам существования задачи анализа – к соотношению между структурной сложностью цепи и скромными возможностями канала подачи инженеру информации о полном векторе её состояния. Учёт этого конфликта является предварительным условием формирования новой методологии расчётов. Доступная инженеру – наблюдателю информация полезная для оценки и действий маломерна. Без учёта этого субъективного момента причины для формирования «методов решения» непонятны, поскольку без него не объяснить разницу между векторно - матричной записью U=R·I и скалярной записью U=R·I состояния цепи. Надобность «решать» векторно-матричный вариант при отсутствии таковой для скалярного обусловлена только свойствами «наблюдателя».
В первой главе мы приводили аналогию всякого расчёта с необходимостью повернуть наблюдаемый сложный объект в позицию осуществимости «ценного наблюдения» интересующего нас его параметра. Всякое решение математически может быть пояснено как преобразование координат, в которых система была представлена инженеру-наблюдателю как целое. Преобразованиям описания полной исходной системы до фазы «ценного наблюдения» и посвящены практически все методы расчёта.
Дело в том, что уравнения состояния сложных систем содержат локальные параметры состояния (например, токи и напряжения элементов) в скрытом «общем» виде. Цель уравнений – представить каузальную (причинно – следственную) структуру связей между локальными параметрами. Сама сложная цепь или любая сложная система легко «читает» весь полный вектор из локальных параметров в любой момент, демонстрируя те или иные его маломерные проявления, доступные для повседневного восприятия и оценки. Инженеру, решающему задачу формирования нужной цепи и её состояний, полный вектор в плавном и непрерывном режиме недоступен для работы над ним и над системой.
В свою очередь, в самом удачном и производительном расчёте маломерные координаты неизбежно извлекаются поочерёдно. Это позволяет процесс решения считать дискретной операцией расщепления системы на более простые. «Решить систему» – значит найти набор простых моделей с параметрами состояния, воспроизводящими компоненты вектора состояния сложной цепи.
С одной стороны, решение как процесс должно в той или иной мере преодолевать системность каждого локального параметра, например, путём численной фиксации воздействий на него со стороны системы. Этим всякий расчёт разрушает воздействия системы на локальный параметр как функции. С другой стороны, способ, уровень «замораживания» этих функций должен обеспечить «неприкасаемость» избранных для «решения» системных характеристик – инвариантов, при нарушении которых результат расчёта лишается смысла как не имеющий отношения к исследуемой системе.
Например, традиционный расчёт скалярных локальных токов фактической целью имеет замену сложной цепи комплектом элементарных (рис.9), каждая из которых «изображает» состояние элемента исходной цепи, воспроизводя ту же величину тока через элемент с такими же параметрами. Инвариантами процесса расчёта в этом случае являются вектор токов и параметры элементов.
Этой традиции «предельно элементарного» расчёта (то есть, разборки цепи до элементов) существуют альтернативные методы, доставляющие иные маломерные эквиваленты. Заслуга появления задач расчленения систем в электротехнике на подсистемы заданной неэлементарной размерности принадлежит работам Г. Крона и его последователей [«Диакоптика» Г. Крона, работы М.А. Шакирова и др.] по «диакоптике».
Первоначально «диакоптика» стимулировалась фундаментальной, якобы, новизной своих подходов. Однако тезис об этом, сохраняющийся в отдельных работах и сейчас (характерный пример – статьи института А. Богданова в Екатеринбурге), ничем, кроме сложного своеобразия прикладных методов «диакоптиков» не мотивирован. Экзотические методы Г. Крона, которыми он компенсировал современную ему незавершённость соответствующих разделов математики, ныне легко выследить как цепочки стандартных методов вычислительной математики вне приёмов «диакоптики». Начало этого процесса было положено в Послесловии А.В. Баранова к главной работе Г. Крона в русском варианте и редакторской работой В.Г. Миронова над книгой Хэппа по диакоптике.
Если для математиков неизбежность «диакоптики» при анализе сложных систем всегда было очевидной (само слово «анализ» переводится как «расчленение» – та же «диакоптика»), то понимание неосуществимости «недиакоптического» познания локальных свойств системы в электротехнике пришло только после эпопеи «диакоптиков». Безрезультатность попыток заинтересовать математиков и физиков приёмами Г. Крона как особыми методами для систем стала исчерпывающим симптомом.
Термином «диакоптика» далее мы будем пользоваться, имея в виду общий принцип эквивалентирования сложной цепи набором из блоков заданной, чаще – неэлементарной, размерности.
Своевременному позиционированию методов расчёта в электротехнике как тех или иных путей снижения размерности долго мешала уникальная наглядность электротехники, способствующая иллюзии осуществимости «недиакоптического анализа» сложной цепи в форме общей оценки её схемы.
Кроме непосредственно самой системы уравнений состояния сложной цепи недиакоптическим и «истинно системным» решением формально можно считать, например, формулу в общем виде для одного неизвестного из системы уравнений состояния. Например, компьютер способен вывести из системы алгебраических уравнений многостраничную символьную формулу для входного сопротивления n-контурной цепи со стороны одной ветви.
Однако, уже при небольших n мы обнаружим, что параметры, упоминаемые в исходной системе уравнений один раз, в развёрнутой символьной формуле для одного локального параметра представлены многократно и, согласно правилу Крамера, объём формулы нарастает пропорционально факториалу n. Такого рода недиакоптические решения проигрывают по обозримости исходной системе уравнений, будучи в действительности ей тождественны по математическому содержанию. Они могут быть плодотворными по субъективным частным причинам и имеют общий и, несомненно, серьёзный познавательный смысл на начальном этапе изучения свойств цепей, как, например, то же правило Крамера, полезное при изучении небольших систем n=2, 3.
Проследив при анализе сути расчётов для цепей, а также за возникновением связной цепи при ортогональных преобразованиях несвязной, мы получим идею обратной спектральной разборки цепи. Введение конгруэнтных преобразований и матричной формы метода Гаусса обеспечило возможность выбора направления диакоптики для расчёта тех или иных комплектов локальных параметров. Это подтверждает справедливость хорошо известного принципа дополнительности для сложных цепей – расчёт одного набора локальных параметров исключает получение в этом же расчёте других параметров (например, спектральное расщепление цепи даст спектральные составляющие токов, а физические токи даст расчёт по методу Гаусса).