13.Мощность и состояния цепей
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ МАТРИЦ ОДНОРОДНОГО БАЗИСА И ПЕРЕДАЧА МОЩНОСТЕЙ
М.И. Грамм
Описаны экстремальные свойства собственных чисел матриц систем уравнений состояния цепей в однородном базисе и приведены примеры оптимизации потоков мощностей на их основе. Привлечение собственных позволяет также расширить толкование множителей, связывающих токи и напряжения при оценке величин мощностей в сложных случаях, а также упрощает изложение многих разделов теории. Простоте способствует разделение состояний цепей на базисные и общие. Реализация методов несложна в связи с современной доступностью программ вычислений собственных чисел и векторов.
Ключевые слова: электрическая цепь, ортогональные преобразования, передаваемая мощность, оптимизация передачи, собственные векторы, собственные числа.
It is proposed to apply the conception of basic and common states of circuits as well as in physics. The application is fruitful for optimization of Power Flow between multidimensional generator and complete load. This approach gives the set of simple theorems based on matrix spectra and provides the new linear algebra explanation of Fryze idea. The theorems lead to a new effective application of modern mathematical computer software especially in the part of matrix spectral calculations.
Key words: electrical circuits, orthogonal transformations, power flow, optimization of energy exchange, eigenvectors, eigenvalues.
Введение. В качестве пути компактизации методологии электротехники в [1] предложен спектрально-матричный подход для описаний основных методов расчёта. В [2] рассмотрены примеры согласовании сложных цепей на спектральной основе. Представленный ниже материал продолжает направление [2] описанием экстремальных свойств собственных чисел, а также обсуждением связей известных методов расчёта мощностей с матрично-спектральными характеристиками цепей при несинусоидальных токах. Учёт описываемых свойств и связей упрощает расчёты при настройке цепей мощного энергопитания, что показала практика оптимизации электропрогрева бетонной смеси (БС), применявшегося, в частности, при зимнем бетонировании фундамента храма Христа Спасителя.
Пункты обсуждения выстроены в два этапа – анализ распределений вещественных параметров состояния по топологии цепей при вещественных матрицах и анализ распределений во времени с привлечением параметров в комплексной форме. Последовательное усложнение описания на основе компактного по своему происхождению спектрального подхода создаёт шанс для включения материала в курс ТОЭ, учитывающий принципиальное изменение ситуации с введением в обиход компьютеров. Как представляется, использование в качестве учебника ТОЭ, например, безупречного описания [3] истории методологии электротехники создаёт риск разночтений описанием методов «последовательных интервалов», «графического интегрирования» и т.п. студентам 4-го – 5-го семестров, освоившим в большинстве вузов на 2-м – 3-м семестрах численные методы и их реализации на компьютере. Пособия уровня [4,5,6] современны, но под силу лишь магистрам. Применение собственных – производительный компромисс. Освоение спектрального подхода даст мощные методы по направлениям курсов типа [4, 6] с применением методов линейной алгебры уровня [7,8,9] и других.
Спектрально-матричный подход при оптимизации цепи реализуется, начиная с несложной оптимизации набора из n независимых контуров со скалярными эдс EGi и внутренними сопротивлениями RGk (k= 1, 2, …, n) генераторов и параметрами ELk и RLk нагрузок, [1, 2, 9]. Общая мощность задана, например, энергетическим или тепловым расчётом будущей цепи. Ортогональное преобразование уравнений полученного набора описывает множество (группу по вращению) оптимизированных связных цепей той же мощности. Цепь группы, наиболее точно удовлетворяющая технологическим требованиям, становится основой реальной конструкции. Поскольку исходный несвязный набор является спектральным расщеплением группы, возникает возможность и обратной оптимизации – расщеплением заданной связной цепи и согласованием несвязного набора. Рассмотрим практические расчёты, обращая внимание на экстремальные аспекты этапов.
Простейшая форма расчёта оптимального скалярного множителя для оценки мощности. При подогреве БС токами арматуры с ненулевым погонным сопротивлением R0 возникает проблема уравнивания мощностей разных участков цепи. Топология арматуры (рис.1) сложна, задана строительной технологией и тепловым расчётом задачи Стефана [10]. Согласование участков должно быть достигнуто минимальными добавками в арматуру стыков участков (рис.1) по данным оперативных измерений. В этой связи для текущего контроля мощностей в ходе многочасовой сессии подогрева БС нужен мотивированный и просто вычисляемый скаляр Rx для возможно более точной оценки мощности P=(I*Rx,I)= Rx*| I | 2 , передаваемой через многофидерные сечения между участками.
Рис.1. Соединения сложных участков при подогреве бетонной смеси
Воспользовавшись простейшим представлением сечения (рис .2), найдём величину Rx сопротивления как наилучшее решение системы несовместных в общем случае уравнений, связывающих вещественные напряжения U1 , U2 , …, Un и токи I1 , I2 , …, In , получаемые при оперативных измерениях:
Оптимальной величиной Rx принято считать решение уравнения dS/dRx =0, где S – сумма квадратов разностей правой и левой частей (1). Например, при отслеживании параметров лишь трёх фидеров (n=3, рис.2) получим для S:
Решение уравнения dS/dRx =0 запишем в векторной форме, не зависящей от n. Введение необходимых для этого пространств правомерно и над U, и над I, поскольку и токи, и напряжения между собой коммутативны и по умножению, и по сложению [11]. Несовместность (1) выражается в неколлинеарности U и I (a¹0, рис.3), а оптимальность Rx при dS/dRx =0 – в ортогональности U - Rx*I и I:
Условие (3) даёт формулу для Rx:
Выражение (4) для проекции U на направление I может составить основу для получения не одного, а нескольких оптимальных скаляров. Например, если для цепи по рис.2 сочтена более точной аппроксимация характеристикой Ex + Ik *Rx (k= 1, 2,…, n), то скаляры Ex и Rx можно найти как оптимальные решения системы из несовместных пар уравнений:
Приняв матрицу М в (5) размера
Формулы (4) и (6) понадобятся в дальнейшем обсуждении.
Базисные и общие состояния цепи. Расчёт наилучшего Rx как математического ожидания для ансамбля случайных величин R1 , R2 ,.., Rn основан на поиске минимума суммы квадратов отклонений. Минимизацию этой суммы можем объяснить и как результат действия принципа минимума потерь в некоторой детерминированной цепи [1, 9]. В такой модели R1 , R2 ,.., Rn будут детерминированными параметрами, а строки (1) можем трактовать как точные уравнения состояний не связанных между собой контуров. Вектор U - Rx*I как мера неучтённой информации в гипотезе о случайных R1 , R2 ,.., Rn превращается в детерминированную меру отклонения состояния несвязной цепи от режима коллинеарности U и I (от режима a=0, рис.3 для n=3). Мощность цепи, её часть, определённая вектором разницы U - Rx*I, а также взаиморасположение векторов являются инвариантами группы по вращению, основанной на матрице diag[R1 , R2 ,.., Rn ]. Например, при n=3 описание группы получим ортогональным преобразованием Т=(ТT) -1:
При
Теорема 1. Цепь имеет столько базисных состояний, какова размерность описания её состояний в однородном базисе.
Справедливость теоремы 1 следует из простоты структуры матриц R однородного базиса, получающихся по (7), и связанной обычно с их положительной определённостью. Положительная определённость R обусловлена положительностью чисел
Название «базисное» взято из физики и связано с тем, что описание произвольного состояния цепи суть линейная комбинации
Базисным состояниям соответствуют экстремумы мощностей. Покажем, что для оптимизации потока мощности между сложными участками целесообразно обеспечивать близость режимов сечений связи к базисным состояниям.
Пусть в цепи с заданной диагональной или заполненной матрицей R вектор I тока постоянной длины | I |=const в пространстве токов может принимать любые направления (задаваемые, например, источниками), образуя множество, заполняющее гиперсферу](сферу I1 2+ I2 2+ I3 2=const при n=3). Среди этого множества векторов I окажутся векторы коллинеарные вектору U. Очевидно, это собственные векторы матрицы R цепи, а соответствующие состояния – базисные.
В этом же пространстве в качестве геометрического места точек постоянной мощности P=const цепи с той же матрицей R может быть построен гиперэллипсоид, объём которого пропорционален мощности P. Геометрия его наиболее наглядна из описания
Пусть n=3. Сожмём сферу I1 2+ I2 2 + I3 2 =const вокруг эллипсоида P= const несвязной цепи с резисторами R1 < R2 <R3 до соприкосновения с эллипсоидом. Очевидно, точка касания окажется на конце его наибольшей полуоси на расстоянии от начала координат, пропорциональном R1 -1/2 . Точка отображает базисное состояние при L1 = Lmin = R1, поскольку находится на собственном векторе матрицы R (из-за несвязности цепи в нашем рассуждении она окажется на оси I1 при I2 = I3 =0). Векторы I и U в этом состоянии коллинеарны, а само состояние соответствует минимуму мощности, равной P= R1 × I1 2 при R1 < R2 <R3. Экстремальной (нулевой) окажется и мощность, определяемая вектором U - R1 *I. Для получения следующей точки соприкосновения этой же сферы с эллипсоидом на направлении полуоси R2 -1/2 , соответствующей базисному состоянию при L 2 = R2 > R1 и P= R2 * I2 2 , объём эллипсоида придётся увеличить. Ещё более объём придётся увеличить для получения точки третьего базисного состояния. Эти экстремальные свойства базисных состояний свяжем с известными положениями линейной алгебры.
Вернёмся к отношению (4). Если векторы U и I связаны положительно определённой матрицей R и может быть построена квадратичная форма (R*I, I), то отношение Rx = (R*I, I)/( (I, I) называется отношением Релея, имеющим минимаксные свойства. Они заключаются в том, что величина Rx(I)=(R*I, I)/( (I, I)=L минимальна и равна наименьшему собственному числу L=L1 =Lmin тогда, когда вектор I является собственным вектором R при наименьшем собственном числе Lmin; величина Rx(I) максимальна и равна наибольшему Ln =Lmax , когда вектор I является собственным при наибольшем числе, [11]. Итог подведём в полезном для электротехнической оптимизации утверждении.
Теорема 2. При питании цепи токами, вектор которых постоянен по длине ½I½=const, суммарная мощность P максимальна в базисном состоянии, соответствующем наибольшему собственному числу Lmax матрицы R сопротивлений цепи, и минимальна в базисном состоянии, соответствующем наименьшему собственному числу Lmin. В других состояниях при том же токе |I|=const величина P мощности находится в диапазоне между указанными величинами Pmax >P >Pmin.
Первое положение теоремы 2 подтверждается как описанными выше картинами соприкосновений сферы и эллипсоида в пространстве n=3, так и свойствами отношения Релея. Для уточнения утверждения теоремы 2 о диапазоне мощностей рассмотрим группу, порождённую двумя контурами (n=2):
Поскольку преобразование Т не влияет на величину мощности, то достаточно обсудить картину для несвязной цепи (Т=1). Положим I1 2 + I2 2 = 1:
P = I1 2 *R1 + I2 2 *R2 =(1-I2 2 )*R1 +I2 2 *R2. (9)
Для экстремумов мощности P построим уравнения:
Равенства (10) описывают экстремумы мощности при n=2: мощность экстремальна при I2 =0 и, если при этом R1 < R2, то экстремум является минимумом – это базисное состояние при собственном числе R1 =Lmin, если же при этом R1 > R2 , то экстремумом является максимум мощности. Положение теоремы 2 о диапазоне мощностей при n=2 наглядно иллюстрируют геометрические построения в пространствах (I1, I2) и (I1, I2 , Р), представленные на рис.4 и рис. 5.
Как было сказано, связыванию цепей соответствуют повороты полуосей эллипса (9) P(I1, I2)=const на угол, заложенный в Т как в матрицу вращения (рис.4). Направления полуосей задаются столбцами V (2) и V (2) матрицы Т как собственными векторами R. На них находятся точки базисных состояний: А1 для наибольшего Lmax и А2 – для наименьшего Lmin. Соответствующая картина на плоскости (I1, I2) образована проекциями сечений P=const и проекцией линии пересечения цилиндра I1 2 + I2 2 = const с параболоидом потерь в пространстве (I1, I2, Р) – линии, содержащей точки всех возможных состояний обсуждаемой цепи (рис.5). Линия пересечения проходит через точку наибольшей Pmax из мощностей на направлении собственного вектора V (1) для lmax (числу lmax соответствует малая полуось сечения P=const параболоида). Через точку наименьшей Pmin из возможных мощностей эта линия проходит на направлении другого собственного вектора V (2) . Видим, что векторы I любых отличных от базисных направлений соответствуют состояниям с мощностями в диапазоне между Pmax и Pmin.
Рис.4. Базисные состояния А1, А2
Рис.5. Формирование диапазона от Pmin до Pmax
Справедливо и дуальное к теореме 2 утверждение. Оно следует из возможности применения ортогонального преобразования к описанию состояний с помощью проводимостей gk (k = 1, 2,…, n):
Теорема 3. Суммарная мощность P, подаваемая напряжениями с вектором U длины |U|=const в цепь с матрицей узловых проводимостей G , максимальна в базисном состоянии, соответствующем наибольшему собственному числу Lmax матрицы G , и минимальна в базисном состоянии, соответствующем наименьшему числу Lmin. В других состояниях при той же величине |U|=const величина P мощности находится в диапазоне между величинами Pmax >P >Pmin.
Обращение к траектории пересечения цилиндра
U12+ U2 2= const с эллиптическим параболоидом P=U T* G *U виртуальных потерь, использованное в теоремах 2 и 3, позволяет констатировать ещё одно полезное свойство спектра.
Пусть состояния цепи при |U| = const =1 задаются источниками тока. На траектории |U|= const =1 есть точки режимов, когда ненулевым является только один из токов J s (1 <= s <= n). Он создаст на s – ом узле напряжение Us =Js *R вх s , задаваемое входным сопротивлением Rвх s со стороны данного узла. Мощность Ps = Us 2/ Rвх s, вводимая в цепь, равна суммарной мощности потерь и должна, как сказано, находиться в диапазоне между P= Pmin и P= Pmax. Это соответствует обязательному выполнению неравенства, заданного базисными состояниями при L1= Lmin и при l[SUB}n[/SUB]=Lmax матрицы G как границами:
Записи (12) соответствует следующее утверждение.
Теорема 4. [B] Входная проводимость со стороны любого узла цепи с матрицей проводимостей [B] G не может быть больше её наибольшего собственного числа и меньше наименьшего. Равенство входных проводимостей наименьшему или наибольшему из собственных чисел матрицы G достигается только тогда, когда матрица G является диагональной и соответствует несвязной цепи.
Возможная дуальная переформулировка теоремы 4 (в случае осуществимости уравнений в контурном базисе), очевидно, определяет диапазон входных сопротивлений для эдс контуров, цепь которых описана контурной матрицей R .
Спектральный подход позволяет рассчитать входные сопротивления точно, а также оценить сумму входных сопротивлений. Например, с помощью матрицы T со столбцами V1 и V2 получено описание G связной цепи n=2:
Построив для матрицы G проекторы [11] P1= V1*V1T и
P2= V2*V2 SUB]T[/SUB], можем с их помощью записать матрицу G-1 в спектральной форме:
Величина входного сопротивления Rвх1 или Rвх2 со стороны конкретного узла равна потенциалу узла при подаче на него единичного тока. Величины входных сопротивлений даст умножение соответствующих векторов J1T =[1 0] или J2T =[0 1] на G-1 по (14). Легко получить и сумму сопротивлений:
Поскольку при получении (15) мы не оговаривали свойств V1 и V2 помимо их взаимоортогональности, то (15) доказывает инвариантность суммы входных сопротивлений при ортогональных преобразованиях и справедлива теорема 5.
Теорема 5. Сумма скалярных входных сопротивлений цепи со стороны всех её узлов инвариантна относительно ортогональных преобразований матрицы проводимостей и равна сумме обратных величин проводимостей цепи спектрального расщепления – сумме обратных величин собственных чисел матрицы проводимостей. Дуальное утверждение справедливо для суммы входных проводимостей контуров относительно контурных эдс.
Отметим, что для несвязной цепи равенство суммы проводимостей резисторов сумме обратных величин входных сопротивлений цепи очевидно. С другой стороны, эта сумма проводимостей равна следу диагональной матрицы несвязной цепи, который, как известно ([11] и др.), инвариантен относительно ортогональных преобразований. Теорема 5, кроме задач согласования, может оказаться полезной и при экспериментальном определении собственных чисел цепи.
Энергетические показатели процессов во времени, представленных векторами. При питании цепи подогрева БС от выпрямителей из-за сложных во времени форм токов и напряжений учёт больших и дорогих мощностей выходит на ряд теоретических трудностей и альтернатив [13-16]. Перед описанием варианта спектрально – матричного подхода для энергетических расчётов в этом случае опишем положения, принимаемые как исходные. Благодаря преобладанию векторной формы в потоке современной измерительной информации из-за дискретизации регистраторами электрических процессов (РЭП) спектрально - матричный подход позволяет занять мотивированную прагматичную позицию, приводящую к весьма простым и однозначным выводам.
Дискретизация даёт векторы U и I с компонентами в виде решётчатых функций, образующих массивы мгновенных значений (ММЗ) токов i(t) и напряжений u(t) (рис.6). Величина шага dt и число N отсчётов T= N* dt определены целесообразным периодом T наблюдения. Оформилась тенденция к увеличению Т до T >> Tc =1/f ( f – частота сети), мотивируемая убедительностью энергобалансов и разделения ответственностей, [14, 15]. Важную роль в увеличении Т играет быстродействие аппаратуры, способной хранить и обрабатывать суточные ММЗ при 10 3 и более отсчётах на период частоты в 50 герц.
Рис.6. Ток и напряжение на двухполюснике
Рис.7. Примеры схем
Пусть векторы U и I (рис.3) для двухполюсника (рис.6, 7) образованы синхронными ММЗ, описывающими ток i(t) и напряжение u(t) на интервале наблюдения T= N* dt (рис.6). Дискретизации соответствует наличие вместо непрерывной фактической функциональной связи Z[i(t)]= u(t) матричной связи:
Z*I = U, (16)
где Z – матрица дискретно отображающая оператор Z[i(t)], описывающий как свойства двухполюсника, так и условия в цепи при t=0 и t=T= N* dt.
Приняв подход С. Фризе [16] об эффективном потреблении любой цепью лишь коллинеарной с U составляющей Ir тока I и располагая ММЗ как описаниями U и I, для периода наблюдения Т воспользуемся формулой (4):
где gN – скалярная проводимость, связывающая N – компонентные векторы U и Ir.
Очевидно, действительно потреблённая цепью энергия равна wr = (Ir, E)*dt. Соответствующая средняя за T= N* dt активная мощность равна:
P= (Ir , E)/N. (18)
Хорошо известно, что формула (18) полностью соответствует наблюдаемой энергетике. В частности, она приводит к формулам типа P=U*I*cos(ф) для активных мощностей синусоид с периодом Т. Гораздо менее признана в электротехнике тактика, применяемая в физике для учёта «непринятой» системой (например, цепью) энергии. Эту энергию характеризует ортогональная (за период наблюдения Т) к функции внешнего воздействия составляющая состояния системы. Именно в ортогонализации разницы «модель состояния-воздействие» по отношению к точному описанию состояний системы и состоит суть методов типа методов Ритца, Бубнова-Галёркина и многих других, [9]. Она выполняется коррекцией избранной модели решения уравнений состояния. Ортогональная («неактивная», «реактивная») N – мерная составляющая Ix = I – Ix вектора общего тока удовлетворяет условию (3) (E, Ix)=0. Она определяет «непринятую» (за весь отрезок 0/T наблюдения!) энергию wx = (Ix, E)*dt и при необходимости даст среднюю реактивную мощность Q = wx/N к моменту T= N* Δt, а также и реактивную проводимость. Ортогональность векторов Ix и E обеспечивает обязательное выполнение равенства
Базисные состояния двухполюсника при описаниях равномерными по времени массивами мгновенных значений. Если двухполюсник является постоянным резистором, то Z=1*R, формы кривых i(t) и u(t) идентичны, векторы U и I коллинеарны (рис.3). Цепь всегда находится в базисном состоянии – матрицу Z можно заменить скаляром, связывающим ММЗ i(t) с ММЗ u(t). Расчёт потребляемых мощности и энергии в этом случае не вызовет затруднений. При появлении реактивностей в цепи базисные состояния усложняются.
Рассмотрим последовательную цепь из индуктивности L и резистора R:
Заменим (19) конечно-разностной аппроксимацией простейшего вида:
где k=0, 1, 2, …, N – номера отсчётов ММЗ токов и напряжений, dt - постоянный шаг, связанный, например, с постоянной времени t=L/R для LR цепи.
При наличии соответствующих вычислительных ресурсов расчёт ММЗ токов по (20) при заданном ММЗ для u(t) может быть выполнен обращением матрицы Z системы вида (16). Построить её по (20) можно, задав, например, условия для границ интервала 0/Т. Отметим, что расчёты с обращением матриц (вместо конечно-разностного счёта по (20) «последовательными интервалами») при численном интегрировании дифференциальных уравнений обычно относят к компетенции методов конечных элементов. Выполнение таких расчётов инженером стало возможным благодаря широкому распространению компьютеров.
Для построения Z остановимся на условии i (0) = i (N). Оно представляется логичным, поскольку мотивированное разделение энергоответственностей немыслимо без периодичности энергоучёта, [14]. Следует учитывать и то, что при размерах ММЗ в 109 и более точность выполнения i(0) = i(N). мало влияет на погрешности вытекающих оценок. Обозначив b = L/2*dt, получим систему вида (16) для обсуждаемого LR-двухполюсника:
Условие i(0) = i(N)привело к циркулянтной форме Z, [7, 8]. Формально циркулянтность матрицы Z может быть доказана её коммутативностью с матрицей Р перестановок, все элементы которой равны нулю, за исключением единичной поддиагонали и единичного правого верхнего элемента, – коммутатор Z*P–P*Z равен нулю. Циркулянтность Z при i(0) = i(N) и при Δt=const сохраняется и для более сложных, чем LR, двухполюсников (рис.7). В целом это принципиально упрощает спектрально –матричный анализ в связи с двумя фактами [7, 8]:
- ортонормированный базис циркулянтов хорошо известен и образован столбцами матрицы F размером NXN дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с элементами Fk,m =e (k-1)(m-1) /
- спектр собственных чисел циркулянтов также известен и задаётся произведением F*a, где а – первый столбец циркулянта Z.
Выполнив операции, требуемые формулой /= F*a, получим:
Все собственные числа Z по (22), кроме случая k=1, комплексные. Единственному вещественному числу /1 =R соответствует собственный вектор Z в виде первого столбца матрицы F с одинаковыми элементами 1/
Остальным комплексным числам по (22) соответствуют собственные векторы с комплексными элементами (столбцы F). В частности, описания состояний с синусоидальным по интервалу 0/Т напряжением с периодом T/K при целом К и при ММЗ с вещественными компонентами
с вещественной амплитудой Am,k , с периодом Tk = T/(k–1)= N* dt/K и с начальной фазой aSUB]k[/SUB] +П/2 являются суммой двух собственных векторов:
Вещественность суммы (24) объясняется тем, что каждая пара из k-го и N–(k–2)-го чисел образована взаимно сопряжёнными числами
где
При малых К/N конечно-разностный аналог частоты в составе /kблизок к соответствующей круговой частоте wk =2*П*K/N* dt (например, при К/N<1/36 синусоида sin(2*П*K/N)/dt отличается от своего аргумента менее, чем на 10 -3 ), и полные комплексные сопротивления цепи Z(K) =R+jwk L для весьма широкого диапазона K≥ 1 могут быть близки к собственным числам матрицы Z. В связи с возможностью произвольно увеличивать N (во всяком случае, в рассуждениях) видим, что комплексный метод расчёта цепей по своей сути использует базисные состояния и их параметры, поскольку только в них возможна связь между напряжением к током с помощью множителя. Очевидно, и другие параметры точных описаний цепей в комплексном методе расчёта близки к дискретным аналогам, возникающим в численных алгоритмах для цепей.
Литература
Грамм, Дедуктивный вариант.
Грамм, Многомерное согласование
Демирчян, Коровкин Г
Демирчян, Бутырин. Моделирование.
Grundlagen.
Бутырин, Васьковская.
Тыртышников, Воеводин. Теплицевы.
Бабенко К.И. Ганкелевы.
Грамм М.И., Немов Ю.Н., Шакирзянов Ф.Н. Спектрально-матричные методы расчётов в электротехнике и принцип минимума потерь. Изд. Дом МЭИ. 2006.
Мейрманов. Задача Стефана.
Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984.
Generalized Inversion
ГОСТ Р 52425-2005. Аппаратура для измерения электрической энергии переменного тока.Частные требования. Часть 23. Статические счетчики реактивной энергии.
Filipski P.S. Apparent Power-a Misleading Quantivy in the Non–Sinusoidal Power Theory: Are all Non–Sinusoidal Theories Doomed to Fail? ETEP vol.3, № 1, Janyary/February, 1955, pp. 21–26.
Budeanu C.I. Puisslanses reactiv’es et fictives. Inst. Romain de I’Energie, Bucharest, Rumania, 1927.
Fryze S. Wirk-, Blind- und Scheinleistug in elektrischen Stromkreisen mit nichtsinusformigem Verlauf von Strom und Spannung. – Elektrotechnische Zeitschrift, 1932, Heft 25.
Грамм, Немов, Шакирзянов.
Пенфилд П., Спенс Р., Дюинкер С. Энергетическая теория электрических цепей.- М.: Энергия, 1974.
Бутырин П.А., Васьковская Т.А. Диагностика электрических цепей по частям. – М.: МЭИ, 2003.
Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных систем. – М.: Наука, 1988.
Грамм М.И. О принципе минимума потерь. – Изв. вузов, Электромеханика, 1989, №10.
Грамм М.И.. Практические методы численных расчётов для электротехники и электрофизики.– Челябинск.: ЧГТУ, 1994.
Грамм М.И. Множество цепей с постоянной мгновенной мощностью и экстремальные принципы для цепей. – Электричество, 2003, №4.
Автор М.И. ГРАММ