25.Спектр матриц однородного базиса и оптимизация передачи и учета электроэнергии (Часть 3)
Обратимся к рис.5. Наличие участков Wr(k) с отрицательным наклоном означает известный бесполезный возврат энергии в источник тогда, когда не удаётся локализовать оборот энергии между неизбежными реактивными элементами внутри цепи. Для исключения выхода возвратов во внешние цепи вводят компенсирующие устройства, «замыкающие» эти потоки внутри цепи, [16]. Например, в цепи рис.5 при равенстве w*L=1/w*C кривые Wr(k) и WR(k) совпадут и ортогональной энергии Wq(k) не будет. Известные устройства компенсации частотноизбирательны и ориентированы на диапазон вокруг частоты сети. Например, говорить о компенсации с их помощью возвратов энергии на частотах субгармоник, получающих в сетях всё большее распространение из-за частотно управляемых приводов, альтернативных источников энергии с длинными периодами рекуперации и т.п. практически невозможно. Матрично - спектральный подход способен предложить класс многофазных цепей с накопителями энергии любого типа и с полной компенсацией теоретически на любой частоте. Эта возможность следует из привязки спектральных характеристик цепи к упоминавшемуся выше эллипсоиду потерь и простоте обнаружения и расчёта режимов цепей с постоянной мгновенной мощностью. Впервые эта связь рассмотрена в работе [17]. Для дальнейших пояснений обратимся к схемами для n=2 по рис.7.
Суммарная мгновенная мощность двух резистивных, не связанных друг с другом контуров (рис.7а), будет оставаться постоянной p(t)=const, если их состояния описываются точками на эллипсе постоянной мощности:
где e01(t) и e02(t) – напряжения эдс, например, вида e01(t)=E01m*sin(w*t) и e02(t)=E02m*cos(w*t), которым соответствуют комплексы
При амплитудах
Рис.7. Связанные и несвязанные контуры постоянной мгновенной мощности
Введём в исходную несвязную цепь компенсирующие друг друга реактивности (пунктир на рис.7а). Очевидно, постоянство [I]p(t)=const общей мгновенной мощности не нарушится. Воспользовавшись теоремой о компенсации, «зачислим в состав» соответствующих эдс напряжения на индуктивностях (рис. 7б), выполнив равенство I01*w*L01/E01=I02*w*L02/E02 долей от эдс добавляемых напряжений в обоих контурах. Ортогональность подаваемых на резисторы напряжений не нарушится, и точки состояний останутся на эллипсе постоянной мощности цепи. Очевидно, равенство долей ведёт к равенству L01/L02=R01/R02, не зависящему от частоты. Как в несвязной исходной, так и в полученной ортогональным преобразованием Т связной RC-цепи сохранится свойство постоянства мгновенной мощности – получили класс цепей с постоянной мгновенной мощностью при однородных накопителях. В [17] предложено называть такой режим «многофазным резонансом».
С другой стороны, в состав эдс могут быть введены описанным образом напряжения ёмкостей при сохранении индуктивностей в цепи. Если при этом соблюдено равенство C02/C01=R01/R02, то мгновенная мощность оставшейся RL-цепи также будет постоянной во времени.
И вообще, поскольку в рассуждениях выше существенным было лишь соблюдение равенства L01/L02 = C02/C01 = R01/R02, то при его выполнении в несвязной цепи, общая мгновенная мощность цепи останется постоянной при любых наборах L, C, R и при любой частоте взаимно ортогональных во времени эдс e01(t) и e02(t). Ортогональное преобразование описания такой несвязной цепи даст описание связной с тем же свойством постоянства мощности. При этом для матриц R, L и C-1 системы уравнений состояния связной цепи величины R01, R02, L01, L02, C01-1, C02-1 окажутся соответствующими собственными числами, [1, 8]. Определение описанного кратко класса цепей с постоянной, независимо от частоты питающего напряжения, мгновенной мощностью может быть дано в форме следующего утверждения.
Теорема 7. Цепи, описания которых получены ортогональным преобразованием пар контуров, в каждой из которых выполнено сквозное равенство отношений величин резистивных R, индуктивных L и ёмкостных С-1 параметров одного контура к соответствующим параметрам другого, могут при надлежащем выборе напряжений источников синусоидальных напряжений обеспечивать режим с постоянной величиной мгновенной мощности.
Из сказанного выше ясно, что подаваемые на пару контуров эдс образуют собственные векторы длиной, пропорциональной квадратному корню из собственных чисел матрицы потерь цепи – величин резисторов несвязной цепи. Описание анализа и тактики проектирования цепей с постоянной мгновенной мощностью в широком диапазоне частот выходит за рамки данной публикации. Отметим, что обеспечение компенсации однородными реактивностями в сложных схемах преобразовательных агрегатов, [18], фактически использует описанный выше многофазный резонанс.
Выводы.
Матрично – спектральный подход, оперируя с векторами, позволяет не только оптимизировать обмен мощностями между сложными цепями на основе экстремальных свойств спектра матриц, но на основе анализа связей между векторами из решётчатых функций токов и напряжений цепей способен дать несложные алгоритмы энергоучёта эффективных и неэффективных составляющих энергопотоков. Подход позволяет уменьшить несоответствие колоссальной производительности современной дискретной измерительной аппаратуры зачастую противоречивым и неубедительным методикам обработки информации, составленным из взглядов и оценок, либо уходящих корнями в весьма ранние годы становления электротехнической теории, либо размывающих конкретику обращением к малоэффективным сложностям типа гильбертовых пространств.
В плане инженерного обучения существенным приобретением должны стать надёжно применяемые в физике эквивалентные по энергетике унитарные и ортогональные преобразования, связанные с принципом минимума потерь, с пониманием условности и многовариантности спектральных представлений, актуальности ортогональных разложений. По истечении многих лет электротехников должны заинтересовать причины, по которым ни физики, ни математики никогда не заимствовали ни приёмы Крона (появившиеся, в действительности, как компенсация ранней незавершённости методов линейной алгебры), ни уравнения Парка – Горева (являющиеся, в действительности, вариантом ортогонального перехода), ни приёмы «диакоптики». Сейчас предлагаются как новые, [14], преобразования Кларка (известный в ЛА переход к системе пониженного порядка методом вращения) и т.д. Спектрально – матричный подход открывает поле для повышения надёжности инженерного расчёта, освежая арсенал современными методами, ставшими доступными благодаря успехам в развитии компьютера.
Литература
1. Грамм М.И. Вариант дедуктивной организации курса теоретической электротехники // Электричество. – 1996. – №10.
2. Грамм М.И. Ортогональные преобразования и многомерное согласование // Электричество. – 2004. – №8.
3. Демирчян К.С., Нейман Л.Р. и др. Теоретические основы электротехники: учебник. – С-Пб.: Питер, 2004.
4. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчёт электрических цепей. – М.: Высшая школа, 1988.
5. Бутырин П.А., Васьковская Т.А. Диагностика электрических цепей по частям. – М.: Издательство МЭИ, 2003.
6. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. – М.: Наука, 1987.
7. Бабенко К.И. О теплицевых и ганкелевых матрицах// Успехи математических наук, т.41, вып.1(247), 1986.
8. Грамм М.И., Немов Ю.Н., Шакирзянов Ф.Н. Спектрально-матричные методы расчётов в электротехнике и принцип минимума потерь. – М.: Изд. Дом МЭИ, 2006.
9. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984.
10. Мейрманов А.М. Задача Стефана. – Новосибирск.: Наука, 1986.
11. Radhakrishna Rao C., Mitra Sujit K. Generalized Inverse of Matrices and its Application. N.Y., London.: John Wiley&Sons Inc., 1978.
12. ГОСТ Р 52425-2005. Аппаратура для измерения электрической энергии переменного тока.Частные требования. Часть 23. Статические счетчики реактивной энергии.
13. Hirofumi Akagi, Edson Hirokazu Watanabe, Maurício Aredes. Instantaneous power theory and applications to power conditioning. – N.Y., Tokyo.: John Wiley and Sons, 2007
14. Budeanu C.I. Puisslanses reactiv’es et fictives. Inst. Romain de I’Energie, Bucharest, Rumania, 1927.
15. Fryze S. Wirk-, Blind- und Scheinleistug in elektrischen Stromkreisen mit nichtsinusformigem Verlauf von Strom und Spannung. – Elektrotechnische Zeitschrift, 1932, Heft 25.
16. Розанов Ю.К. О мощностях в цепях переменного и постоянного токов// Электричество. – 2009. – №4.
17. Грамм М.И. Множество цепей с постоянной мгновенной мощностью и экстремальные принципы для цепей//Электричество, 2003, №4.
18. Хохлов Ю.И. Применение компенсированных выпрямителей для питания тяговой нагрузки//Электричество, 2008, №4.
Автор М.И. ГРАММ