25.Спектр матриц однородного базиса и оптимизация передачи и учета электроэнергии (Часть 2)
Основы для формирования энергетических показателей. В варианте питания цепи подогрева БС от выпрямителей из-за сложных форм токов и напряжений учёт больших и дорогих мощностей выходит на ряд альтернативных методик [12-16]. Матрично – спектральный подход позволяет в этом вопросе занять прагматичную позицию, дающую основу для оценок связи методов учёта по Фризе, [15], с расчётами по Будеану, [14]. Результативности способствует дискретная форма информации, поступающей с современных регистраторов электрических процессов (РЭП) в виде массивов мгновенных значений (ММЗ). Решётчатым функциям для токов i(t) и напряжений u(t) соответствуют векторы I и U. Заданная аппаратурой величина шага
Дискретизации i(t) и u(t) соответствует матричная связь между I и U:
Z*I = U, (16)
где Z – матрица, дискретно отображающая оператор Z[i(t)] как описание свойств цепи и зависящая от условий для t=0 и t=T= N*
Приняв подход С. Фризе [15] об эффективном потреблении цепью лишь энергии, пропорциональной коллинеарной вектору U составляющей I r тока I и располагая ММЗ длиной k (k=1, 2,… N) для U и I в момент времени t=k*
где g(k) – скалярная проводимость к моменту t=k*
За время T= N
P= (Ir, U)/N =([/B]I, U[/B])/N. (18)
Ниже на основе спектрально-матричного подхода покажем, что выражение (18) даёт традиционные оценки энергетики периодических процессов, например, типа величины P=U*I*cos(
В отношении учёта энергии Wq, отличной от Wr и называемой «неактивной» или «реактивной», основным признано положение о том, что она пропорциональна ортогональной к функции внешнего воздействия составляющей состояния системы. Например, именно в ортогонализации разницы «модель состояния  воздействие» к описанию состояний системы и состоит суть методов Ритца, Бубнова-Галёркина и подобных им, [8]. Очевидно, ортогональная составляющая I x = I – I r вектора I должна удовлетворять условию (3) (U, I x)=0. Величина «неактивной» (за избранный отрезок 0/k*
Подход по Будеану, [14], имеет целью использовать простоту расчёта коллинеарной и ортогональной мощностей на основе комплексного метода, избавившись и от конкретизации величины Т на основе «естественного умолчания» для основной синусоиды цепи. Однако, использование множителя (даже комплексного) вместо матрицы Z для связи (16) между векторами I и U допустимо лишь в базисных состояниях, определённых собственными векторами матрицы Z. Следовательно, они зависят не только от используемой формы Z («способ наблюдения»), но зависят и от «момента» t=k
Методологически одинаковый для любого t учёт коллинеарной и ортогональной энергий в подходе Фризе, как кажется, способен снять проблемы формул Будеану. Однако, неравноценность моментов t в отношении точности энергетических оценок принципиальна и следует из отсутствия информации в паре текущих u(t) и i(t) о вероятном «возврате энергии» в будущем. Игнорируемые производственниками некорректности обоих подходов должны быть устранены хотя бы в теории, в частности, из-за наступления альтернативных генераторов. Обратимся к точным описаниям базисных состояний.
Базисные состояния двухполюсника. Если двухполюсник является резистором, то Z=1*R, формы i(t) и u(t) идентичны, векторы U и I коллинеарны (рис.3). Цепь в любой момент t пребывает в базисном состоянии – матрица Z равноценна скаляру R. Наличие реактивных элементов в цепи усложняет базисные состояния. Покажем справедливость следующего утверждения, призванного уточнить обычно отдаваемые на откуп интуиции положения.
Теорема 6. Собственными векторами матрицы Z связи между вещественными векторами U и I двухполюсника при выполнении условий i(0)=i(T) для периода T= N*
Существенно то, что матрица F является унитарной, то есть, комплексным аналогом вещественных ортогональных матриц, использованных ранее ((7) и др.). Величины квадратичных функционалов, построенных на U и I, не меняются при унитарных преобразованиях. Отсюда следует известное равенство Парсеваля, которым чаще всего обосновывают расчёты по Будеану:
Рассмотрим свойства Z на примере последовательной LR цепи:
Заменим (20) конечно-разностной аппроксимацией простейшего вида:
где k=0, 1, 2, …, N – номера отсчётов ММЗ токов и напряжений,
При наличии соответствующих ресурсов расчёт ММЗ токов по (21) при данном ММЗ для u(t) выполняется обращением Z системы (16). Отметим, что такие расчёты (вместо счёта по (21) ''последовательными интервалами'') при численном интегрировании дифференциальных уравнений относят к методам конечных элементов, доступных ныне компьютеру обычного инженера.
Учтя равенство i0=i(N) , обусловленное в теореме 6 и конкретизирующее Z, отметим, что при размерах ММЗ в 10 9 и более точность его выполнения слабо влияет на итоговые оценки. Введя b = L/2*
Условие i(0) = i (N) привело к циркулянтной форме Z, [6, 7]. Циркулянтность Z формально может быть доказана её коммутативностью с матрицей Р перестановок, все элементы которой равны нулю, за исключением единичной поддиагонали и единичного правого верхнего элемента, – коммутатор Z*P–P*Z равен нулю. Условие i (0) = i (N) приводит к циркулянтности Z и для более сложных схем, подтверждая теорему 6 в связи с двумя фактами, [6, 7]:
- ортонормированный базис циркулянтов типа Z известен и образован столбцами матрицы F размером N*N дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с элементами Fk,m=
- спектр собственных чисел циркулянтов также известен и задаётся произведением
Перед обсуждением чисел
Итак, выполнив операции по формуле
Введя K=k1, можем для K≥1 говорить об аналоге ΩK = sin(2
Синусоидальность мнимой части (23) при k≥1 говорит о том, что множество комплексных чисел состоит из сопряжённых пар
Например, синусоида u(t) с вещественными компонентами ММЗ
с амплитудой AmKи начальной фазой aK является суммой двух векторов:
Делением (26) на собственные числа по (23) получим ММЗ тока i(t):
Отметим, что собственные числа в спектральных представлениях типа (14) и (24) не зависят от собственных векторов – столбцов F и могут быть организованы по правилам комплексного метода как входные сопротивления любого исследуемого линейного двухполюсника. В частности, это даёт простой алгоритм организации матрицы Z для численного интегрирования уравнений состояния по (22) при периодических граничных условиях. Для нас важным является подтверждение вполне ожидаемого вывода о том, что при i(0)=i(T) в комплексном методе все параметры и оценки относятся к моменту t=Т периода наблюдения, обязательно содержащему целое число периодов учитываемых синусоид. Именно для таких синусоид диагональная матрица, полученная преобразованием
На рис.5 представлены графики мгновенных значений энергии Wr(k), связанной с коллинеарной составляющей тока по (17), ортогональной энергии Wq(k), энергии WR(k) диссипаций на R для последовательной RLC-цепи. Параметры цепи и круговая частота w=2*pi/N*dtпозволяют вычислить традиционные величины P и Q, представленные там же. Диссипации R*i(t)2 описываются неубывающей кривой WR(k), чего нельзя сказать о коллинеарной энергии Wr(k) – ей свойственны участки с g(k)<0 по (17). Однако к базисной точке – концу периода все показатели сходятся к традиционным величинам.
Рис.5. Мгновенные значения энергии коллинеарной (Wr(k) ), ортогональной (Wq(k)) составляющих и диссипаций (WR(k)) на периоде T=N*dt синусоиды
Подход Будеану зачастую воспринимается как метод оценки энергетических параметров некоторой реально существующей синусоиды или, по крайней мере, некоторой эквивалентной синусоиды. Приведём пример, иллюстрирующий свойства набора кратночастотных синусоид как лишь одной из разновидностей ортогонального набора для аппроксимирования кривых – в равенстве (19) на месте унитарной матрицы F для ДПФ может быть другая, соответствующая полиномам Лежандра, Чебышёва и др, [8].
Пусть генератор подаёт на цепь напряжение u(t), состоящее из основной синусоиды с периодом T=N*dt и близкой ей по амплитуде синусоиды десятой субгармоники с периодом 10*T. Положим N=20, построим матрицу F1 для ДПФ размером NxN с элементами F1k,m при k, m=1, 2,…, N. Построим матрицу F2 ДПФ по тем же правилам, но размером 10*Nx10*N. Если к вектору U из 10*N компонент, образованному ММЗ напряжения u(t), применим преобразование F2*U=UF2, то спектральное представление UF2 продемонстрирует две ненулевых гармоники, точно отражающих физически подаваемое на цепь напряжение. Но если для вектора U0,1, описывающего лишь одну десятую часть того же вектора U (то есть, период Т основной гармоники), применим преобразование F1*U0,1= UF1, то наблюдаемый спектр UF1 существенно «обогатится» относительно UF2, демонстрируя наличие в составе U0,1 синусоид, которые, как мы точно знаем, генератор вовсе и не вырабатывает. При этом полезно отметить, что оба обратных преобразования
Режим при t=10*N*dt оказался базисным для обеих физических синусоид примера и его полное спектральное описание (24) содержит лишь два слагаемых. Режим при t=N*dt является базисным только для основной гармоники, а субгармонику для t=N*dtпридётся отображать, строго говоря, полным спектром из N слагаемых. При этом в расчёте токов понадобятся комплексные сопротивления (в действительности – собственные числа Z) для гармоник, которых «не должно быть» по представлениям о реальности гармоник. Возможно, понадобится и компенсация реактивностей на этих частотах. Очевидно, простота спектра F1*U0,1= UF1 растёт при приближении отрезка наблюдения к базисной точке для всех синусоид – так действует «соотношение неопределённостей», [8]. Как производственники, так и расчётчики должны выяснять, на что именно реагирует рекламируемый на рынке, например, выявитель асинхронного хода, «улавливающий уход частоты в 0,01 герца за доли секунды» – согласно соотношению неопределённостей для суждения об энергетике процесса частоты f необходимо время наблюдения не менее 1/f.
Отметим наглядность и эффективность процедуры (6) Мура – Пенроуза при расчёте амплитуд гармоник, которыми решено отобразить фактические u(t) и i(t) в данном «окне» из N опытных ординат вместо полной суммы (24). Например, напряжение u(t)=U1m*sin(w*t)+U2msin(0,1*w*t)решено на отрезке N=2*pi/w*dt=50 отобразить с помощью ММЗ, состоящего из постоянной составляющей U0, из синусоидальной с амплитудой U1ms и косинусоидальной с амплитудой U1mc. Построим систему вида (5) из N несовместных уравнений:
Множитель (MT*M)-1 = diag[(2N)-1 N-1 N[I]-1] = D размером 3x3 предельно упрощается, оптимальный вектор получим операцией x=D*MT*U. На рис.6 представлены кривые [I]u(t) и i(t) точного расчёта для непрерывных синусоид, и кривые uF(t) и iF(t), полученные по (28). Они весьма близки друг к другу.
Рис.6. Сравнение точного расчёта и расчёта формулой Мура-Пенроуза
Итак, в подходе Будеану введением «мощности искажения» и других параметров пытаются решить проблему учёта спектральных составляющих, не вошедших в принципиально одночастотную концепцию. С этой точки зрения подход Фризе представляется более перспективным. В нём учёт коллинеарной мощности вообще точен в режиме полной компенсации ортогональной энергии. Матрично – спектральный подход позволяет рассмотреть возможности реализации режима с сохранением полной компенсации в широком диапазоне частот.