Статьи

25.Спектр матриц однородного базиса и оптимизация передачи и учета электроэнергии (Часть 1)

УДК 621.3.011.7(075.8)
СПЕКТР МАТРИЦ ОДНОРОДНОГО БАЗИСА И ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕДАЧИ И УЧЁТА ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ

М.И. Грамм


Введение. В качестве пути компактизации методологии электротехники в [1] предложен спектрально-матричный подход для описаний основных методов расчёта. В [2] рассмотрено согласование сложных цепей как этап оптимизации на спектральной основе. Представленный ниже материал продолжает это направление описанием экстремальных свойств собственных чисел, а также обсуждением связей матрично - спектральных характеристик цепей с методами расчёта мощностей и задачами энергоучёта. Описываемые свойства упрощают расчёты при настройке цепей мощного энергопитания, что, в частности, показала практика оптимизации электропрогрева бетонной смеси (БС) при бетонировании фундамента храма Христа Спасителя.


Обсуждение в рамках матрично – спектрального подхода проведено в три этапа – оптимизация сечений цепей на основе вещественных параметров состояния, оценки энергии по переменным во времени параметрам состояний и элементы проблемы компенсации. Последовательное усложнение описания должно упростить оценку материала на предмет его пригодности для курса ТОЭ как методологического ответа на внедрение компьютера. Представляется, что использование в курсе ТОЭ, например, безупречного описания [3] истории методологии электротехники создаёт риск разночтений изложением методов «последовательных интервалов», «графического интегрирования» и т.п. студентам 4-го – 5-го семестров, освоившим на 2-м – 3-м семестрах вузов численные методы и их реализации на компьютере. Пособия уровня [4,5,6] современны, но под силу лишь магистрам. Применение собственных – производительный компромисс. Освоение подхода даёт инженеру методы уровня [4, 6], снабжая пониманием современных численных методов [7,8,9] и соответствующего программного обеспечения.


Оптимизация проектируемой связной цепи при матрично – спектральном подходе начинается с оптимизации набора из n не связанных друг с другом контуров со скалярными эдс EGi и сопротивлениями RGk (k= 1, 2, …, n) генераторов и параметрами ELk и RLk нагрузок, [1, 2, 8]. Суммарная мощность будущей цепи задана, например, энергетическим или тепловым расчётом, [10]. Далее ортогональным преобразованием уравнений несвязного набора получаем множество (группу по вращению) оптимизированных связных цепей той же мощности. Цепь группы, наиболее точно удовлетворяющая технологическим требованиям, становится основой реальной конструкции. Поскольку исходный несвязный набор является спектральным расщеплением группы, обеспечена возможность и обратной оптимизации – расщеплением заданной связной цепи и несложным согласованием несвязной. Рассмотрим практику расчётов, обращая внимание на экстремальные свойства.


Часть 1. Экстремальные свойства собственных чисел.
Простейшая форма расчёта оптимального скалярного множителя для оценки мощности.
Первой реальной проблемой, возникающей при подогреве БС токами арматуры с ненулевым погонным сопротивлением R0 , оказывается задача уравнивания мощностей разных участков цепи. Топология участков арматуры как цепей сложна, задана строительной технологией и тепловым расчётом задачи Стефана [10]. Согласование участков должно производиться минимальными добавками в арматуру стыков участков по результатам оперативных измерений. Для текущего контроля мощностей в ходе многочасовой сессии подогрева БС нужен мотивированный и просто вычисляемый скаляр Rx для возможно более точной оценки мощности P=(I*Rx,I)= Rx*|I| 2, передаваемой через многофидерные сечения между участками.
Воспользовавшись простейшим представлением сечения (рис .1), найдём величину Rx сопротивления как наилучшее решение системы несовместных в общем случае уравнений, связывающих вещественные напряжения U1 , U2, …, Un и I1 , I2, …, In, получаемые при оперативных измерениях:

, I*Rx = U. (1)
Оптимальной величиной Rx считаем решение уравнения dS/dRx =0, где S – сумма квадратов разностей правой и левой частей (1). Например, при отслеживании параметров лишь трёх фидеров (n=3, рис.1) получим для S
S = (I1*Rx-U1)2 + (I2*Rx-U2)2 + (I3*Rx-U3)2. (2)

Решение уравнения dS/dRx =0 запишем в векторной форме, вид которой не зависит от n. Введение необходимых для этого пространств правомерно и над U, и над I, поскольку и токи, и напряжения между собой коммутативны и по умножению, и по сложению [9]. Геометрически несовместность уравнений (1) выражается в неколлинеарности векторов U и I , а оптимальности Rx соответствует ортогональность векторов U- Rx* I и I:


IT*( U - Rx *I) = 0. (3)
Условие (3) даёт формулу для Rx:
Rx = IT* U/ IT*I = (I,U)/(I,I). (4)



Рис.1. Опыты измерения сопротивлений Рис.2. Пространства U и I
Выражение (4) для проекции U на I может составить основу для расчёта и нескольких скаляров. Например, если для цепи по рис.1 сочтена более точной аппроксимация вида Ex +Ik* Rx (k= 1, 2,…, n), то скаляры Ex и Rx найдём как оптимальные решения системы из несовместных пар уравнений:

, M*x = U. (5)


Приняв матрицу М в (5) размера n x m (n больше или = m) за аналог вектора I в формуле (4), деление на IT * I заменим на умножение на (MT * M)-1, произведение IT * U заменим на MT * U . Получим обобщение формулы (4) до известной процедуры Мура-Пенроуза [11] определения оптимального вектора x как (псевдо) решения системы (5) псевдоинверсией M+
x = (MT * M)-1* MT * U = M+*U. (6)

Формулы (4) и (6) понадобятся в дальнейшем обсуждении.

Базисные и общие состояния цепи. Минимизацию суммы S квадратов отклонений при расчёте наилучшего Rx выше как математического ожидания для ансамбля случайных величин R[I]1, [I]R[I]2,.., [I]R[I]n можем объяснить и как результат действия принципа минимума потерь в некоторой детерминированной цепи [1, 8]. В такой модели [I]R[I]1, [I]R[I]2,.., [I]R[I]n являются детерминированными параметрами, а строки (1) – уравнениями состояний не связанных между собой контуров. Разность U - [I]Rx*I из меры неучтённой информации превращается в детерминированную меру отклонения состояния от режима коллинеарности U и I (от режима a=0 для n=3, рис.2). Существенно то, что мощность цепи, её часть, заданная вектором U - Rx*I, а также взаиморасположение векторов являются инвариантами группы по вращению, порождаемой диагональной матрицей diag[R[I]1, [I]R[I]2,.., [I]R[I]n]. Например, при [I]n=3 описания цепей группы можем получать ортогональными преобразованиями с помощью матриц Т=(ТT)-1

, R*I = U. (7)

При T1 преобразование Т* diag[R[I]1 [I]R[I]2 [I]R[I]3] *ТT даёт заполненную матрицу R, соответствующую связной цепи. Из всех состояний такой цепи случаи коллинеарности векторов U и I соответствуют совпадениям I с одним из собственных векторов V(k) матрицы R цепи при собственном числе /k. Описание R*I=U тогда можем заменить умножением /k*I=U, вектор U-[I]Rx[/B]*I обращается в нуль. Расчёты со скалярным множителем /k становятся точными. Определим столь специфичные по простоте расчётов состояния как «базисные».
[I]Теорема 1
. Цепь имеет столько базисных состояний, какова размерность описания её состояний в однородном базисе.
Справедливость теоремы 1 следует из простоты структуры матриц R однородного базиса, получающихся по (7), и связанной обычно с их положительной определённостью. Положительная определённость R обусловлена положительностью чисел /k >0, каковыми обычно являются параметры реализуемых элементов (например, в (7) это сопротивления исходных резисторов /k =Rk[SUP] ). Собственными векторами V[SUP](k) матрицы R являются столбцы ортогональной матрицы Т в преобразовании (7).
Название «базисное» заимствовано из физики и связано с тем, что описание произвольного состояния физической системы суть линейная комбинации m меньше или = n её базисных состояний. Небазисные состояния называют общими или комбинационными. Комбинационные состояния делят на m – мерные ( меньше n) и полные при m= n. В электротехнике известны примеры замен матриц скалярными множителями в состояниях, являющихся (как правило, интуитивно найденными) базисными – расчёты с помощью комплексных чисел (см.ниже), расчёты симметричных трёхфазных цепей с сопротивлениями для многопроводной шины, приведение уравнений машин к осям p-q и т.п.


Базисным состояниям соответствуют экстремумы мощностей.[B] Покажем, что для оптимизации потока мощности между цепями целесообразно обеспечивать близость режимов сечений связи к базисным состояниям.
Пусть в реализуемой цепи с заданной диагональной или заполненной матрицей [B]R
вектор I тока постоянной длины |I[B]|=const в пространстве токов может принимать любые направления (задаваемые, например, источниками), образуя множество, заполняющее гиперсферу (сферу I12+ I22+ I32=const при n=3). Среди этого множества векторов [B]I окажутся векторы коллинеарные вектору U. По сказанному выше это – собственные векторы матрицы R цепи, а соответствующие состояния – базисные.


В этом же пространстве в качестве геометрического места точек постоянной мощности цепи с той же матрицей R может быть построен гиперэллипсоид объёмом, пропорциональным мощности P. Геометрия его наглядна для несвязной цепи, когда полуоси гиперэллипсоида ориентированы по осям координат и имеют длину, пропорциональную Rk-1/2. Переходу к связной цепи соответствуют его повороты, поскольку полуоси направлены по столбцам V(k) матрицы Т как собственным векторам R.
Обратимся к наглядному случаю n=3. Опишем сферу I12+ I22+ I32=const вокруг эллипсоида P= const несвязной цепи с резисторами R1< R2< R3 так, чтобы две точки её касания эллипсоида оказались бы на концах его наибольших полуосей – на расстояниях от начала, пропорциональных R1-1/2. Эти точки отображают базисные состояния при /1= /min[/SUB ]= R[SUB]1, поскольку находятся на собственных векторах R (из-за несвязности цепи в нашем примере они окажутся на оси I1 при I2= I3 =0). Векторы I и U в этих состояниях цепи коллинеарны, а каждое из состояний соответствует минимуму мощности, равной P= R1* I12 при R1 меньше R2< R3. Экстремальной (нулевой) окажется и мощность, определяемая вектором U - R1*I. Для получения следующей точки соприкосновения этой же сферы с эллипсоидом на направлении полуоси R2-1/2, соответствующей базисному состоянию при /2= R2 больше R1 и P=R2 * I22, объём эллипсоида придётся увеличить. Ещё более его объём придётся увеличить для получения точки третьего базисного состояния. Эти экстремальные свойства базисных состояний свяжем с известными положениями линейной алгебры.


Вернёмся к формуле (4). Если векторы U и I связаны положительно определённой матрицей R и допустима квадратичная форма (R *I, I), то отношение Rx = (R *I, I)/( (I,I), называемое отношением Релея, имеет минимаксные свойства, заключающиеся в том, что величина Rx( I)= (R *I, I)/( (I,I)=/ минимальна и равна наименьшему собственному числу /=/1= /minтогда, когда вектор I является собственным вектором R при наименьшем собственном числе /min; величина Rx( I)максимальна и равна наибольшему числу /n= /max, когда вектор I является собственным при наибольшем собственном числе, [9]. Итог подведём в полезном для оптимизации утверждении.


Теорема 2. При питании цепи различными наборами токов, составляющими вектор неизменной длины модуль I =const, мощность P цепи максимальна в базисном состоянии, соответствующем наибольшему собственному числу /max матрицы R сопротивлений цепи, и минимальна в базисном состоянии, соответствующем наименьшему собственному числу /min. В прочих состояниях при векторе токов той же длины |I |=const величина P мощности находится в диапазоне между указанными мощностями Pmax больше P больше Pmin.
Первое положение теоремы 2 подтверждается как описанными выше картинами соприкосновений сферы и эллипсоида в пространстве n=3, так и свойствами отношения Релея. Для уточнения утверждения теоремы 2 о диапазоне мощностей рассмотрим группу, порождённую двумя контурами (n=2):
, R*I = U.

(8)
Поскольку преобразование Т не влияет на величину мощности, то достаточно обсудить картину для несвязной цепи (Т=1). Положим I12 + I22 = 1:


P = I12* R1 + I22* R2 =(1-I22)* R1+ I22* R2. (9)


Для экстремумов мощности P построим уравнения:

, . (10)


Равенства (10) описывают экстремумы при n=2: мощность экстремальна при I2=0 и, если при этом R1 меньше R2, то экстремум является минимумом – это базисное состояние при собственном числе R1 =/min, если же при этом R1 больше R2, то экстремумом является максимум мощности. Положение теоремы 2 о диапазоне мощностей при n=2 проиллюстрируем геометрическими построениями в пространствах (I1, I2) и (I1, I2 , Р), представленными на рис.3, 4.


Как было сказано, связыванию цепей соответствуют повороты полуосей эллипса (9) P (I1, I2) =const на угол, заложенный в Т как в матрицу вращения (рис.3). Направления полуосей задаются столбцами V(1) и V(2) матрицы Т как собственными векторами R. На них находятся точки базисных состояний: А1 для наибольшего /max и А2 – для наименьшего /min. Соответствующая картина на плоскости (I1, I2) образована проекциями сечений P=const и проекцией линии пересечения цилиндра I12 + I22 = const с параболоидом потерь в пространстве (I1, I2, Р) – линии, содержащей точки всех возможных состояний обсуждаемой цепи (рис.4). Линия пересечения проходит через точку наибольшей Pmax из мощностей на направлении собственного вектора V(1) для /max (числу /max соответствует малая полуось сечения P=const параболоида). Через точку наименьшей Pmin из возможных мощностей эта линия проходит на направлении другого собственного вектора V(2)[/SUP. Видим, что векторы I любых отличных от базисных направлений соответствуют состояниям с мощностями в диапазоне между Pmax и Pmin.



Рис.3. Состояния А1, А2 Рис.4. Формирование диапазона от Pmin до Pmax
Справедливо и дуальное к теореме 2 утверждение. Оно следует из возможности применения ортогонального преобразования к описанию состояний с помощью проводимостей gk (k = 1, 2,…, n)
, G*U = I. (11)
Теорема 3. Суммарная мощность P, подаваемая различными наборами напряжений, образующими вектор U неизменной длины |U|=const в цепь с матрицей узловых проводимостей G, максимальна в базисном состоянии, соответствующем наибольшему собственному числу матрицы G, и минимальна в базисном состоянии, соответствующем наименьшему числу В других состояниях при той же величине |U|=const величина P мощности находится в диапазоне между указанными величинами Pmax больше P больше Pmin.
Обращение к траектории пересечения цилиндра U1 [SUP]2[SUP]+ U2 [SUP]2
= const с эллиптическим параболоидом P=U T*G *U виртуальных потерь, использованное в теоремах 2 и 3, позволяет констатировать ещё одно свойство спектра.
Пусть состояния цепи при |U| = const =1 задаются источниками тока. В этом случае обязательно существуют режимы, когда ненулевым является только один из токов Js (1 меньше или равно s меньше или равно n). Он вызовет на s – ом узле напряжение Us =Js*Rвх s, определённое величиной Rвх s входного сопротивления со стороны данного узла. Но мощность Ps = Us 2/Rвх s должна, как сказано, находиться в диапазоне между P=Pmin и P=Pmax* В таком случае справедливо неравенство:
. (12)
Записи (12) соответствует следующее утверждение.
Теорема 4. Величина входной проводимости со стороны любого узла цепи с матрицей проводимостей G не может превысить величину наибольшего её собственного числа или оказаться меньше наименьшего. Равенство входной проводимости наименьшему или наибольшему из чисел достигается в случае диагональной матрицы G, соответствующей несвязной цепи.
Возможна дуальная переформулировка теоремы 4 (в случае осуществимости уравнений в контурном базисе), определяющая диапазон входных сопротивлений для контурных эдс уравнений с контурной матрицей R.
Спектральный подход позволяет точно рассчитать величины входных сопротивлений и их сумму. Например, при n=2 с помощью матрицы T со столбцами V1 и V2 описание G связной цепи получим преобразованием:
. (13)
Построив для матрицы G проекторы P1= V1*V1 T и P2= V2*V2 T, [9], можем с их помощью записать матрицу G -1 в спектральной форме:
. (14)
Величина входного сопротивления Rвх1 или Rвх2 со стороны конкретного узла равна потенциалу узла при подаче на него единичного тока. Величины входных сопротивлений дадут умножения соответствующих векторов J1 T=[1 0] или J2 T=[0 1] на G -1 по (14). Можем получить и сумму сопротивлений:
= Rвх1+ Rвх2. (15)
Поскольку от V1 и V2 требуется лишь взаимоортогональность, то запись (15) говорит об инвариантности суммы входных сопротивлений относительно ортогональных преобразований. Аналогичное утверждение справедливо и для суммы входных проводимостей контуров относительно контурных эдс. Ограничимся формулировкой свойства для сопротивлений.
Теорема 5. Сумма входных сопротивлений со стороны узлов цепи инвариантна относительно ортогональных преобразований матрицы проводимостей и равна сумме обратных величин проводимостей цепей спектрального расщепления – сумме обратных величин собственных чисел матрицы.
Отметим, что для несвязной цепи равенство суммы проводимостей резисторов сумме обратных величин входных сопротивлений очевидно. С другой стороны, эта сумма равна следу диагональной матрицы несвязной цепи, который, как известно ([9] и др), инвариантен относительно ортогональных преобразований. Теорема 5, кроме задач согласования, может оказаться полезной и при экспериментальном определении собственных чисел.









(c) All rights reserved. Copyright 2003-2004.
Design: Sergey Zwezdin. Programming: Sergey Zwezdin, Alexey Volkov.